Question

Напишите уравнение той касательной к графику функции y=f(x), которая параллельна данной прямой y=kx+m: f(x)=ln(3x+2), y=x+7

Answer 1

Так как касательная параллельная прямой y=x+7, то угловые коэффициенты этих прямых равны: $k=1$. Также угловой коэффициент равен значению производной в точке касания: $f'(x_0)=1$. Таким образом, мы сможем найти точку касания:
$f(x)=\ln(3x+2) \\\ f'(x)= \frac{1}{3x+2} \cdot(3x+2)'=\frac{1}{3x+2} \cdot3=\frac{3}{3x+2} \\\ f'(x_0)= \frac{3}{3x_0+2} =1 \\\ 3x_0+2=3 \\\ 3x_0=1 \\\ x_0= \frac{1}{3}$
Уравнение касательной в общем виде:
$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$
Неизвестным остается только значение функции в точке касания:
$f(x_0)=\ln(3\cdot \frac{1}{3} +2)=\ln3$
Получаем уравнение:
$y=\ln3+(x- \frac{1}{3} )=x+\ln3- \frac{1}{3}$