Question

1)sin^3(x/3)-sin^2(x/3)cos(x/3)-3sin(x/3)cos^2(x/3)+3cos^3(x/3)=0. 2) sin(x)-sin(2x)=2sin^2(x/2). 3) 2sin(4x)+16sin^3(x)cos(x)+3cos(2x)-5=0.

Answer 1

1) sin^3(x/3) - sin^2(x/3)*cos(x/3) - 3sin(x/3)*cos^2(x/3) + 3cos^3(x/3) = 0
sin^2(x/3)*(sin(x/3) - cos(x/3)) - 3cos^2(x/3)*(sin(x/3) - cos(x/3)) = 0
(sin(x/3) - cos(x/3))*(sin^2(x/3) - 3cos^2(x/3)) = 0
Если произведение равно 0, то хотя бы один множитель равен 0.
1) sin(x/3) - cos(x/3) = 0
sin(x/3) = cos(x/3)
tg(x/3) = 1; x/3 = pi/4 + pi*k; x1 = 3pi/4 + 3pi*k
2) sin^2 (x/3) - 3cos^2 (x/3) = 0
sin^2(x/3) = 3cos^2(x/3)
tg^2 (x/3) = 3
2a) tg (x/3) = -√3; x/3 = -pi/3 + pi*n; x2 = -pi + 3pi*n
2b) tg (x/3) = √3; x/3 = pi/3 + pi*m; x3 = pi + 3pi*m
ответы 2a) и 2b) можно объединить: x2 = +-pi + 3pi*n

2) sin(x) - sin(2x) = 2sin^2 (x/2)
По формуле разности синусов
$sin(a)-sin(b)=2sin \frac{a-b}{2}*cos \frac{a+b}{2}$
Подставляем
$2sin \frac{x-2x}{2}*cos \frac{x+2x}{2}=-2 sin \frac{x}{2}*cos \frac{3x}{2}$
-2sin(x/2)*cos(3x/2) - 2sin^2 (x/2) = 0
-2sin(x/2)*(cos(3x/2) + sin(x/2)) = 0
1) sin(x/2) = 0; x/2 = pi*k; x1 = pi*k/2
2) cos(3x/2) + sin(x/2) = 0
Это можно преобразовать в произведение
2sin(pi/4 - x/2)*sin(pi/4 + x) = 0
2a) pi/4 - x/2 = -pi*n; x/2 = pi/4 + pi*n; x2 = pi/2 + 2pi*n
2b) pi/4 + x = pi*m; x3 = -pi/4 + pi*m

3) 2sin(4x) + 16sin^3(x)*cos(x) + 3cos(2x) - 5 = 0
Это намного сложнее, у меня сейчас времени нет, решу позже.
Если модераторы дадут исправить.