1) 7/144
2) 0
3) 2
Объяснение:
1) ∫₉¹⁶ х⁻² dx = 1/(-1) * x⁻²⁺¹ ║₉¹⁶ = - x⁻¹ ║₉¹⁶ = - 16⁻¹ - (- 9⁻¹) = -1/16 + 1/9 = (16 - 9) / 16*9 = 7 / 144
2) ∫₋₁¹ 1/x³ dx = ∫₋₁¹ x⁻³ dx = 1/(-2) * x⁻³⁺¹ ║₋₁¹ = -1/2 * x⁻² ║₋₁¹ = -1/2 * 1⁻² - (-1/2 * (-1)⁻² ) = -1/2 + 1/2 = 0
3) ∫ sinx dx = - cosx + C
Интегрируем в пределах от нуля до π:
- cosx║ ₀ π = - cos(π) - (-cos0) = -(-1) + 1 = 1 + 1 = 2
*Замечание:
В третьем примере я не стал находить определенный интеграл не сразу только по техническим причинам: в предоставленной клавиатуре не существует степени (то есть знака надстрочной записи) в виде "π".
ответ: 13,5 км.
Объяснение:
Решение.
За 2 часа плот пройдет по течению реки
S=vt=3*2=6 км.
Расстояние до пристани В осталось 43,5-6=37,5 км.
Скорость катера против течения равна
V катера против теч.= V собств. катера - V реки = 15-3=12 км/час.
Скорость сближения катера и плота равна сумме их скоростей:
V сближения = V катера против теч. + V плота=12+3=15 км/час.
S=vt; 37.5=15t, где t - время до встречи
t=37.5 : 15;
t=2.5 часа.
Встреча произойдет через 2,5 часа после выхода катера от пристани В на расстоянии
S=6+3*2.5= 13.5 км от пристани А. Это расстояние пройдет плот за t=2+2,5=4,5 часа до встречи.
Применим утверждение из условия на разных числах.
2 + (-1) + (-1) = 0 делится на n
2^11 - 1^11 - 1^11 = 2 * 3 * 11 * 31 - тоже должно делиться на n
3 + (-2) + (-1) = 0 делится на n
3^11 - 2^11 - 1^11 = 2 * 3 * 7 * 11 * 379 - тоже должно делиться на n.
Из примеров следует, что максимальное возможное значение n равно 2 * 3 * 11 = 66. Докажем, что 66 подходит.
Рассмотрим разность x^11 - x. Докажем, что при целых x она делится на 66.
x^11 - x = x (x^10 - 1) = x (x^5 - 1)(x^5 + 1)
* Делимость на 2: сомножители x, x^5 - 1 разной чётности, поэтому среди них одно чётное, второе нечётное. Значит. произведение делится на 2.
* Делимость на 3: заметим, что x^5 дает такой же остаток от деления на 3, что и x (это можно проверить только для чисел 1, 0, -1). Значит, всё произведение даёт такой же остаток, что и x (x - 1)(x + 1). Это произведение трёх последовательных чисел. Среди них обязательно найдётся делящееся на 3, тогда всё произведение делится на 3.
* Делимость на 11 гарантирует малая теорема Ферма (если p - простое число, то для любого целого a число a^p - a делится на p).
Итак, разность делится на 2, 3, 11, тогда и на 2 * 3 * 11 = 66.
Осталось заметить, что если a + b + c делится на 66, то и a^11 + b^11 + c^11 делится на 66, так как (a^11 + b^11 + c^11) - (a + b + c) = (a^11 - a) + (b^11 - b) + (c^11 - c) делится на 66, поскольку каждое слагаемое делится на 66.
ответ. n = 66.