Question

Cos^3(x)+sin^8(x)=1 решить уравнение

Answer 1

На интервале    $( 0 ; \frac{ \pi }{2} ) \ :$

$0 < \cos{x} < 1 \ ;$

$0 < \cos^3{x} < \cos^2{x} \ ;$

$0 < \sin{x} < 1 \ ;$

$0 < \sin^6{x} < 1 \ ;$

$0 < \sin^8{x} < \sin^2{x} \ ;$

$0 < \cos^3{x} + \sin^8{x} < \cos^2{x} + \sin^2{x} = 1 \ ;$

На интервале    $( -\frac{ \pi }{2} ; 0 ) \ :$    всё симметрично, поскольку и    $\cos^3{x}$    и    $\sin^8{x}$    –  чётные функции, то всё точно так же, и:

$0 < \cos^3{x} + \sin^8{x} < 1 \ ;$

На интервале    $( \frac{ \pi }{2} ; \pi ) \ :$

$\cos{x} < 0 \ ;$

$\cos^3{x} < 0 \ ;$

$0 < \sin^8{x} < \sin^2{x} \ ;$

$0 < \cos^3{x} + \sin^8{x} < \cos^2{x} + \sin^2{x} = 1 \ ;$

Аналогично и на интервале:    $( -\pi ; -\frac{ \pi }{2} ) \ ;$

Для возможных корней остаются только точки:    $x = \frac{ \pi n }{2} , n \in Z \ ;$

Среди них не подходят только:    $x = \pi + 2 \pi n , n \in Z \ ;$

ОТВЕТ:

$x_1 = \frac{ \pi }{2} + \pi n , n \in Z \ ;$

$x_2 = 2 \pi n , n \in Z \ .$