Рассмотрим два числа A и В
Пусть A=a²+b² B=c²+d² Надо доказать что A*B=x²+z²
A*B=(a²+b²)*(c²+d²)=a²c² + a²d² + b²c² + b²d² = (a²c² + b²d²) + (a²d² + b²c²) + 2*abcd - 2*abcd = *
1. * = (a²c² +2*ac*bd +b²d²) + (a²d² - 2*ad*bc+ b²c²) = (ac + bd)² + (ad - bc)²
2. *= (a²c² - 2*ac*bd +b²d²) + (a²d² + 2*ad*cd+ b²c²) = (ac - bd)² + (ad + bc)²
Таким образом нашли x₁₂ = ac + - bd и z₁₂ = ad - + bc
доказали что если каждое из двух чисел представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, то их произведение также можно разложить в сумму квадратов двух целых чисел
3^x > 0 при любом x ∈ R. Вынесем а за скобки.
a*(3^x - 12 + 4a) > 0
1) При а = 0 будет 0 > 0 - этого не может быть ни при каком х.
Решений нет.
2) При a < 0 будет
3^x + 4a - 12 < 0
3^x < 12 - 4a
12 - 4a > 0 при любом a < 0, 3^x > 0 при любом x, поэтому
x < log3 (12 - 4a)
3) При a > 0 будет
3^x + 4a - 12 > 0
3^x > 12 - 4a = 4(3 - a)
При a ∈ (0; 3) будет 4(3 - a) > 0, поэтому
x > log3 (12 - 4a)
При a >= 3 будет 4(3 - a) <= 0, поэтому
3^x > 4(3 - a) (отрицательного числа) при любом x.
x ∈ R
ответ: При a = 0 решений нет. При a ∈ (-oo; 0) x ∈ (-oo; log3 (12-4a))
При a ∈ (0; 3) x ∈ (log3 (12-4a); +oo). При a ∈ [3; +oo) x ∈ (-oo; +oo)