Question

Решить систему дифференциальных уравнений: {x` = x + 2y, {y` = 4x - y

Answer 1

$\left\{\begin{array}{l}x'=x+2y\\y'=4x-y\end{array}$
Продифференцируем первое уравнение:
$x''=x'+2y'$
Подставим в него известное выражение для $y'$:
$x''=x'+2(4x-y) \\\ x''=x'+8x-2y$
Заменим в исходной системе второе уравнение на только что полученное:
$\left\{\begin{array}{l}x'=x+2y\\ x''=x'+8x-2y\end{array}$
Складываем уравнения:
$x'+x''=x+x'+8x$
$x''-9x=0$
Составляем характеристическое уравнение и решаем его:
$\lambda^2-9=0 \\ \lambda^2=9 \\\ \lambda=\pm3$
Находим $x$:
$x=C_1e^{3t}+C_2e^{-3t}$
Из первого уравнения системы выразим $y$:
$y= \dfrac{x'-x}{2}$
Находим $x'$:
$x'=3C_1e^{3t}-3C_2e^{-3t}$
Находим $y$:
$y= \dfrac{3C_1e^{3t}-3C_2e^{-3t}-C_1e^{3t}-C_2e^{-3t}}{2} = C_1e^{3t}-2C_2e^{-3t}$
ответ: $\left\{\begin{array}{l}x=C_1e^{3t}+C_2e^{-3t}\\y=C_1e^{3t}-2C_2e^{-3t}\end{array}$