Question

Решить дифференциальное уравнение xy` (lny – lnx) = y

Answer 1

$xy' (\ln y - \ln x) = y$
Применяем свойство логарифма:
 $xy' \ln \dfrac{y}{x} = y$
Далее преобразуем:
 $y' \ln \dfrac{y}{x} = \dfrac{y}{x}$
Получаем однородное диф. уравнение.
Замена:
 $\dfrac{y}{x} =t \\\ \Rightarrow y=tx; \ y'=t'x+tx'=t'x+t$
Получаем уравнение с разделяющимися переменными:
$(t'x+t)\ln t=t \\\ t'x+t= \dfrac{t}{\ln t} \\\ t'x= \dfrac{t}{\ln t} -t \\\ \dfrac{xdt}{dx} =\dfrac{t}{\ln t} -t \\\ \dfrac{dt}{\dfrac{t}{\ln t} -t} = \dfrac{dx}{x}$
Интегрируем левую часть отдельно:
$\int\limits \dfrac{1}{\dfrac{t}{\ln t} -t} dt= \int\limits \dfrac{1}{\dfrac{t-t\ln t}{\ln t} } dt= \int\limits \dfrac{\ln t}{t-t\ln t }dt = \int\limits \dfrac{\ln t}{t(1-\ln t) }dt$
Искусственно добавим и отнимем 1 в числителе и разобьем интеграл на два интеграла:
$\int\limits \dfrac{\ln t-1+1}{t(1-\ln t) }dt = \int\limits \dfrac{\ln t-1}{t(1-\ln t) }dt + \int\limits \dfrac{1}{t(1-\ln t) }dt$
Выполняем подведение под знак дифференциала:
$- \int\limits \dfrac{1}{t }dt + \int\limits \dfrac{1}{1-\ln t }d(\ln t) = - \int\limits \dfrac{1}{t }dt - \int\limits \dfrac{1}{1-\ln t }d(1-\ln t) = \\\ =- \ln |t| - \ln|1-\ln t|$
После интегрирования получим:
$- \ln |t| - \ln|1-\ln t|=\ln|x|+\ln|C| \\\ - \ln |t(1-\ln t)|=\ln|Cx| \\\ \ln |(t(1-\ln t))^{-1}|=\ln|Cx| \\\ (t(1-\ln t))^{-1}=Cx \\\ \dfrac{1}{t(1-\ln t)} =Cx$
Обратная замена:
$\dfrac{1}{ \dfrac{y}{x} (1-\ln \dfrac{y}{x} )} =Cx \\\ \dfrac{x}{ y(1-\ln \dfrac{y}{x} )} =Cx$
На х можно сократить, так как по условию х не может быть равен 0.
$\dfrac{1}{ y(1-\ln \dfrac{y}{x} )} =C \\\ Cy(1-\ln \dfrac{y}{x} )=1$
ответ: $Cy(1-\ln \dfrac{y}{x} )=1$ - общий интеграл уравнения