Question

55 за решение 1) sin^4 x+cos^4 x = cos4x 2) при каких значениях параметра a уравнение не имеет решений? 5sin2x + 12cos2x=2a-1

Answer 1

1) Приведем левую и правую часть к функции cos 2x.
sin^4 x + cos^4 x = sin^4 x + 2sin^2 x*cos^2 x + cos^4 x - 2sin^2 x*cos^2 x =
= (sin^2 x + cos^2 x)^2 - 1/2*4sin^2 x*cos^2 x = 1 - 1/2*sin^2 (2x) =
= 1/2*(2 - sin^2 (2x)) = 1/2*(1 + cos^2 (2x))
cos 4x = 2cos^2 (2x) - 1
Подставляем
1/2*(1 + cos^2 (2x)) = 2cos^2 (2x) - 1
1 + cos^2 (2x) = 4cos^2 (2x) - 2
3 = 3cos^2 (2x)
cos^2 (2x) = 1
a) cos 2x = -1; 2x = pi + 2pi*k; x1 = pi/2 + pi*k
b) cos 2x = 1; 2x = 2pi*n; x2 = pi*n

2) 5sin 2x + 12cos 2x = (2a-1)
Переходим к аргументу х
10sin x*cos x + 12cos^2 x - 12sin^2 x = (2a-1)*cos^2 x + (2a-1)*sin^2 x
(2a-1+12)*sin^2 x - 10sin x*cos x + (2a-1-12)*cos^2 x = 0
Делим всё на cos^2 x
(2a+11)*tg^2 x - 10tgx + (2a-13) = 0
Получили квадратное уравнение относительно tg x.
Оно не имеет решений, если D < 0
D = 10^2 - 4(2a+11)(2a-13) = 100 - 16a^2 + 16a + 572 < 0
Разделим всё на -16. При этом знак неравенства поменяется.
a^2 - a - 42 > 0
(a - 7)(a + 6) > 0
a < -6 U a > 7

Answer 2

$\sin^4x+\cos^4x=\cos4x$
Добавим и вычтем слагаемые $2\sin^2x\cos^2x$
$\sin^4x+2\sin^2x\cos^2x+\cos^4x-2\sin^2x\cos^2x=\cos4x\\ \\ (\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x=\cos4x\\ \\ 1-0.5\sin^22x=1-2\sin^22x\\ \\ 2\sin^22x-0.5\sin^22x=0\\ 1.5\sin^22x=0\\ \\ \sin 2x=0\\ \\ 2x= \pi k,k \in \mathbb{Z}|:2\\ \\ x= \dfrac{\pi k}{2},k \in \mathbb{Z}$

$5\sin 2x+12\cos2x=2a-1$

Формула: $a\sin x\pm b\ cos x= \sqrt{a^2+b^2} \sin(x\pm\arcsin \frac{b}{ \sqrt{a^2+b^2} })$

В нашем случае:

$\sqrt{5^2+12^2} \sin(2x+\arcsin \frac{12}{ \sqrt{5^2+12^2} }) =2a-1\\ \\ 13\sin(2x+\arcsin \frac{12}{13} )=2a-1\\ \\ \sin (2x+\arcsin \frac{12}{13})= \dfrac{2a-1}{13}$

Уравнение решений не имеет, если 
$\bigg|\dfrac{2a-1}{13} \bigg |\ \textgreater \ 1$

$\left[\begin{array}{ccc}\dfrac{2a-1}{13} \ \textgreater \ 1\\ \dfrac{2a-1}{13} \ \textless \ -1\end{array}\right\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}2a-1\ \textgreater \ 13\\ 2a-1\ \textless \ -13\end{array}\right\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}a\ \textgreater \ 7\\a\ \textless \ -6\end{array}\right$

ответ: при $a \in (-\infty;-6)\cup(7;+\infty)$