Question

Сумма кубов членов бесконечной прогрессии относится к сумме квадратов её членов, как 20 : 21. найдите третий член прогрессии, если сумма первых двух членов равна 1,25

Answer 1

Сумма кубов членов геометрической прогрессии:
$S_n=b_1^3*{1-q^{3n}\over1-q^3}$
В пределе при n стремящемся к бесконечности:
$S={b_1^3\over1-q^3}$
аналогично для квадратов:
$S={b_1^2\over1-q^2}$
Из условия:
${b_1^3\over1-q^3}:{b_1^2\over1-q^2}={b_1*(1+q)\over1+q+q^2}=20:21$
Кроме того:
$b_1+b_1q=1.25$

${b_1*(1+q)\over1+q+q^2}=20:21\\b_1+b_1q=1.25\\\\{1.25\over1+q+q^2}={20\over21}\\\\20q^2+20q-6.25=0\\D=400+500=900\\q_1={1\over4}\\q_2=-{5\over4} - unsuitable$

${5\over4}b_1=1.25\\b_1=1\\\\b_3=b_1*q^2={1\over16}$

Answer 2

$b_n = b_1q^{n-1}, b_n^2 = b_1^2 (q^2)^{n-1}, b_n^3 = b_1^3 (q^3)^{n-1}$

Для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии справедлива формула:

$S = \frac{b_1}{1 -q}$

Значит для второй и третьей последовательности (квадратов и кубов) справедливо:

$S_1 = \frac{b_1^2}{1 -q^2}, S_2 = \frac{b_1^3}{1 - q^3}$

Нам известно, что:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{20}{21} = \frac{\frac{b_1^3}{1 -q^3} }{\frac{b_1^2}{1 -q^2}} = b1\frac{1 - q^2}{1 - q^3}$

И известно:

$b1 + b1q = 1,25 = b1(1 + q)$

Получаем:

$b1\frac{1 - q^2}{1 - q^3} = b1\frac{(1 - q)(1 + q)}{1 - q^3} = \{b1(1 + q) = 1,25\} = 1,25 \frac{1 + q}{1 - q^3} = \frac{20}{21}$

$\frac{5}{4} \frac{1 - q}{1 - q^3} = \frac{20}{21}$

$\frac{1 - q}{1 - q^3} = \frac{16}{21}$

Получаем уравнение

$16q^3 - 21q + 5 = 0$

Перебором делителей свободного члена находим, что корнем является q = 1 (который, нам, однако, не подходит, поскольку |q| должен быть меньше 1 т.к. прогрессия бесконечно убывает) и поделив на q - 1 получаем:

$16q^2 + 16q - 5 = 0$

Находя корни квадратного уравнения, получаем:

$q_1 = \frac{1}{4}, q_2 = -\frac{5}{4}$

Из которых (по причине, описанной ранее) подходит только 1/4.

Дальше из условия $b1(1 + q) = 1,25$ находим, что $b_1 = 1$, а третий член равен $b1q^2 = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$