Question

A)решите уравнение 2sin^22x=9sin2x-4 б)найдите все корни этого уравнение,принадлежащие промежутку [0; 3п/2]

Answer 1

$2sin^22x = 9sin2x - 4 \\ 2sin^2x - 9sin2x + 4 = 0$
Пусть $a = sin2x, \ a \in \mathbb{Z}$
$2a^2 - 9a + 4 = 0 \\ D = 81 - 2*4*4 = 49 = 7^2 \\$
$a_1 = \frac{9 + 7}{4} = 4$- посторонний корень
$a_2 = \frac{9-2}{4} = \frac{1}{2}$
Обратная замена:
$sin2x = \frac{1}{2} \\ 2x = (-1)^{n} \frac{ \pi }{6} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \\ x = (-1)^{n} \frac{ \pi }{12} + \ \frac{ \pi n}{2} , \ n \in \mathbb{Z}$
Теперь с двойного неравенства отберём корни, входящие в данный отрезок:
$0 \leq (-1)^{n} \frac{ \pi }{12} + \ \frac{ \pi n}{2} \leq \frac{3 \pi }{2}, \ n \in \mathbb{Z}$
Умножим на 12:
$0 \leq (-1)^{n} \pi + 6 \pi n\leq 18 \pi , \ n \in \mathbb{Z}$
Разделим на π:
$0 \leq (-1)^{n} + 6 n\leq 18 \, \ n \in \mathbb{Z}$
Понятно, что n = 0, 1, 2 и 3.
Теперь подставляем вместо n 0, 1, 2 и 3.
$x = \frac{ \pi }{12} \\ x = -\frac{ \pi }{12} + \frac{ \pi }{2} = \frac{5 \pi }{12} \\ x = \frac{ \pi }{12} + \pi = \frac{13 \pi }{12} \\ x = -\frac{ \pi }{12} + \ \frac{3 \pi }{2} = \frac{17 \pi }{12}.$
ответ: $x = \frac{ \pi }{12}; \frac{5 \pi }{12}; \frac{13 \pi }{12}; \frac{17 \pi }{12}.$