Question

Доказать, что при любом натуральном n :
а) n(n+1) кратно 2
б)n²+3n кратно 2
в) n(n+1)(2n+1) кратно 6
г) n(2n+1)(2n-1) кратно 3

Answer 1

а) Cреди двух последовательных натуральных чисел  n  и (n+1)

одно обязательно чётное, а значит кратно 2

Поэтому и произведение кратно 2

б)

n(n+3)

Если  n- чётное, то произведение кратно 2

Если n- нечётное, то есть n=2k+1, тогда n+3=2k+1+3=2k+4=2(k+2)- чётное  и стало быть кратно 2.

Значит и все произведение кратно 2.

в)

Cреди трёх последовательных натуральных чисел  n  и (n+1)  и (n+2)

одно обязательно чётное, а значит кратно 2

и одно кратно трём

Поэтому и произведение кратно 2·3=6

г)

Натуральное число n

-либо кратно 3, тогда все произведение кратное трем.

-либо при делении на 3 дает остаток 1, что можно записать:

n=3k+1, k∈N,

тогда

2n+1=2(3k+1)+1=6k+3=3(2k+1) - кратно трем и произведение кратно трем.

-либо при делении на 3 дает остаток 2, что можно записать:

n=3k+2, k∈N

тогда

2n-1=2(3k+2)-1=6k+3=3*(2k+1) -кратно трем и произведение кратно трем.