Докажите, что значение многочлена а³-а при целых значениях а кратна числу 6

Question

Алгебра: Докажите, что значение многочлена а³-а при целых значениях а кратна числу 6

xenia00000 · Accepted Answer

Пусть x1 - цифра тысяч, x2 - сотен, x3 - десятков, x4 - единиц.

Составляем систему уравнений:

x1 + x2 + x3 + x4 = 14

x1 = x4

x2 = x3

10*x1 + x2 = 10*x3 + x4 + 27

Вычитаем x1 = x4 и x2 = x3 из первого уравнения: x3 + x4 = 7

Из соображений симметричности данного числа, x1 + x2 = 7 тоже.

Подставляем полученное равенство в последнее уравнение, разделив 10*цифра на 9*цифра + 1*цифра:

9*x1 + 7 = 9*x3 + 7 + 27

x1 = x3 + 3

Находим x1, подставляя полученные равенства вместо остальных неизвестных:

x1 + 7 - x1 + x1 - 3 + x1 = 14

x1 = 5

Возвращяемся к равенствам:

x2 = 7 - x1

x2 = 2

x3 = x2

x3 = 2

x4 = x1

x4 = 5

ответ: 5225.