Question

Решить дифференциальное уравнение. y''-5y'+6y=

Answer 1

$y''-5y'+6y=(x^2+3x)\cdot e^x$
Классификация: Дифференциальное уравнение второго порядка, линейное неоднородное со специальной правой частью.
Найти нужно:

$Y_{O.H.}=Y_{O.O.}+Y_{4.H.}$

Найдем общее решение однородного уравнения, то есть $Y_{O.O}$
$y''-5y'+6y=0$
Воспользуемся методом Эйлера
Пусть $y=e^{kx}$, тогда имеем характеристическое уравнение

$k^2-5k+6=0$

По теореме Виета: $k=2;\,\,\,\, k=3$

Тогда общее однородное будет иметь решение
$Y_{O.O.}=C_1y_1+C_2y_2=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}$

Теперь найдем частное неоднородное уравнение, то есть $Y_{4.H.}$( С1, С2 принимаем за функции)

$f(x)=(x^2+3x)e^x$  $\Rightarrow \alpha=1;\,\,\, P_n(x)=x^2+3x;\,\,\,\,n=2$
Где $P_n(x)$ - многочлен степени х

Сравнивая $\alpha$ с корнями характеристического уравнения и принимая во внимания что n=2 частное решение будем искать в виде

$Y_{4.H.}=e^x(Ax^2+Bx+C)$
Чтобы определить коэффициенты А, В и С воспользуемся методом неопределённых коэффициентов, вычислив предварительно производные:

$y'=(e^x(Ax^2+Bx+C))'=e^x(2Ax+Ax^2+Bx+B+C)\\ \\ \\ y''=e^x(C+2B+Bx+2A+Ax^2+4Ax)$

Подставим в исходное уравнение

$C+2B+Bx+2A+Ax^2+4Ax-5(2Ax+Ax^2+Bx+B+C)+\\ \\+Ax^2+Bx+C=x^2+3x\\ \\ 2Ax^2+x(2B-6A)+2C-3B+2A=x^2+3x$

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х

$2A=1\\ 2B-6A=3\\ 2C-3B+2A=0$

Решая систему уравнений, получаем

$A=0.5\\ B=3\\ C=4$

Тогда частное неоднородное решение будет иметь 

$Y_{4.H.}=e^x(0.5x^2+3x+4)$

ОБЩЕЕ НЕОДНОРОДНОЕ РЕШЕНИЕ, ТО ЕСТЬ $Y_{O.H.}$

$Y_{O.H.}=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}+e^x(0.5x^2+3x+4)$ - ответ