Question

Решить уравнение, x^4 - (40 / (x^4 - 3x^2)) = 3x^2 + 6

Answer 1

$x^4 - \dfrac{40}{x^4 - 3x^2} = 3x^2 + 6 \\ \\ x^4 - 3x^2 - \dfrac{40}{x^4 - 3x^2} - 6 = 0$
Пусть $t = x^4 - 3x^2, t \neq 0 \\ \\$
$t - \dfrac{40}{t} - 6 = 0 \\ \\ \dfrac{t^2 - 6t - 40 }{t} = 0 \\ \\ t^2 - 6t - 40 = 0 \\ \\ t_1 + t_2 = 6 \\ t_1 \cdot t_2 = -40 \\ \\ t_1 = -4 \\ t_2 = 10$
Обратная замена:
$x^4 - 3x^2 = -4 \\ \\ x^4 - 3x^2 + 4 = 0$
Ещё одна замена:
Пусть $a = x^2, \ a \ \textgreater \ 0$
$a^2 - 3a + 4 = 0 \\ \\ a_1 + a_2 = 3 \\ a_1 \cdot a_2 = 4 \\ \\ a_1 = 1 \\ a_2 = 4$
Обратная замена:
$x^2 = 1 \\ \\ \boxed{x = \pm 1 }\\ \\ x^2 = 4 \\ \\ \boxed{x = \pm 2}$
Ещё одно уравнение:
$x^4 - 3x^2 = 10 \\ \\ x^4 - 3x^2 - 10 = 0$
И ещё одна замена:
Пусть $b = x^2, \ t \ \textgreater \ 0$
$b^2 - 3b - 10 = 0 \\ \\ b_1 + b_2 = 3 \\ b_1 \cdot b_2 = -10 \\ \\$
$b_1 = -2$ - не уд. условию
$b_2 = 5$
Обратная замена:
$x^2 = 5 \\ \\ \boxed{x = \pm \sqrt{5}}$
ответ: $x = - \sqrt{5} ; \ -2;\ -1;\ 1;\ 2; \sqrt{5}.$