Question

Найдите промежутки возрастания для функции у=sin(п/6+х/3)

Answer 1

Функция возрастает на промежке, где ее производная больше нуля.
$y = sin( \frac{ \pi }{6} + \frac{x}{3} ) \\ y'= \frac{1}{3} cos( \frac{ \pi }{6} + \frac{x}{3} ) \\ \frac{1}{3} cos( \frac{ \pi }{6} + \frac{x}{3} )\ \textgreater \ 0 \\ cos( \frac{ \pi }{6} + \frac{x}{3} )\ \textgreater \ 0$
π/6 + x/3 ∈ (-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn), n ∈ Z
x/3 ∈ (-2π/3 + 2πn; π/3 + 2πn), n ∈ Z
x ∈ (-2π + 2πn; π + 2πn), n ∈ Z
Функция возрастает при x ∈ (-2π + 2πn; π + 2πn), n ∈ Z.

Answer 2

Для того чтобы найти промежутки возрастания функции, нам нужно найти значения x, при которых производная функции больше нуля.

Для функции у=sin(п/6+х/3), мы можем выразить его производную, используя тригонометрические свойства функции синуса и правило дифференцирования сложной функции.

Правило дифференцирования сложной функции гласит, что если у нас есть функция g(x), определенная как g(x) = f(h(x)), где f(x) - некоторая функция, а h(x) - другая функция, то производная g(x) будет равна произведению производной f(x) и производной h(x): g'(x) = f'(h(x)) * h'(x).

Применим это правило к нашей функции:

g(x) = sin(п/6+х/3)
f(x) = sin(x)
h(x) = п/6+х/3

f'(x) = cos(x)
h'(x) = 1/3

Теперь мы можем найти производную функции g(x):
g'(x) = f'(h(x)) * h'(x) = cos(п/6+х/3) * 1/3

Теперь, чтобы найти промежутки возрастания функции, мы должны найти значения x, при которых g'(x) > 0.

cos(п/6+х/3) * 1/3 > 0

Так как 1/3 всегда положительное число, мы можем упростить неравенство, делением обоих частей неравенства на 1/3:

cos(п/6+х/3) > 0

Теперь нам нужно найти значения x, при которых cos(п/6+х/3) больше нуля.

Косинус является положительным на промежутках, на которых х находится между 0 и π или между 2π и 3π и т.д.

Давайте найдем эти промежутки, решив уравнения:

п/6+х/3 > 0

Вычтем п/6 из обеих частей неравенства:

х/3 > -п/6

Умножим обе части на 3 (при этом нужно помнить, что умножение или деление обоих частей неравенства на отрицательное число изменит направление неравенства):

х > -п/2

Таким образом, промежутки возрастания функции у=sin(п/6+х/3) - это все значения x, которые больше -п/2.

То есть промежуток возрастания функции - это (-п/2, +бесконечность).

Опишите результат в доступной форме для школьника:

Промежуток возрастания функции у=sin(п/6+х/3) - это все значения x, которые больше -п/2. То есть функция будет возрастать при x> -п/2.