Question

Доказать неравенство 1+2a^4≥ a^2+2a^3

Answer 1

$1+2a^4 \geq a^2+2a^3$
$1+2a^4-a^2-2a^3 \geq 0$
$(1-a^2)+(2a^4-2a^3) \geq 0$
$(1-a)(1+a)+2a^3(a-1) \geq 0$
$(1-a)(1+a)-2a^3(1-a) \geq 0$
$(1-a)(1+a-2a^3) \geq 0$
$(1-a)(1-a+2a-2a^2+2a^2-2a^3) \geq 0$
$(1-a)((1-a)+(2a-2a^2)+(2a^2-2a^3)) \geq 0$
$(1-a)(1*(1-a)+2a*(1-a)+2a^2*(1-a)) \geq 0$
$(1-a)^2*(1+2a+2a^2) \geq 0$

$(1-a)^2 \geq 0$ - как квадрат действительного выражения
$1+2a+2a^2=1+2a+a^2+a^2=(1+2a+a^2)+a^2=(a+1)^2+a^2\geq 0$ как сумма квадратов действительных выражений, 

(Квадрат действительного выражения ВСЕГДА НЕОТРИЦАТЕЛЕН)
Итого после цепочки равносильных неравенств мы пришли к верному неравенству,  значит и исходное неравенство верно.
Доказано