Интересное уравнение! Но...почему вы так дешево его оценили?
Сначала рассмотрим вопрос с О.Д.З. Это множество описывает система неравенств:
{ x²+5x-5>0,
{ x>0.
Решать её пока не будем. Полученные корни уравнения потом можем подставить в эту систему и таким образом определить из них "посторонние".
Тереть выполним подстановку.
Пусть log₃(x²+5x-5) = u, log₃x = v. Тогда получи такое уравнение:
u² - 4uv +3v² = 0
Разложив на множители, получим:
(u - v)(u - 3v) = 0
Отсюда u - v = 0 или u - 3v = 0
u = v или u = 3v
Вернемся к перменной х:
1) log₃(x²+5x-5) = log₃x
x²+5x-5 = x
x²+4x-5 = 0
х₁ = -5 - не принадлежит О.Д.З.
х₂ = 1 - принадлежит О.Д.З.
2) log₃(x²+5x-5) = 3log₃x
x²+5x-5=х³
х³ - х² -5х +5 =0
х²(х - 1) - 5(х - 1) = 0
(х - 1)(х² - 5)=0
х₃ = 1 - принадлежит О.Д.З.
х₄ = -√5 - не принадлежит О.Д.З.
х₅ = √5 - принадлежит О.Д.З.
ответ: √5; 1.
ОДЗ
х-2≥0
x≥2
x∈[2; +∞)
(x-2)=t⁸
t⁸+t-2=0
Здесь первый корень можно путем сложения коэффициентов, если при сложении получается 0, то один из корней равен 0.
t=1
1+1-2=0
Значит один из множителей (t-1). Проведем деление многочленов.
_t⁸+t-2 I t-1
t⁸-t⁷ t⁷+t⁶+t⁵+t⁴+t³+t²+t-2
_t⁷+t
t⁷-t⁶
_t⁶+t
t⁵- t⁴
_ t⁴+t
t⁴- t³
_t³+t
t³- t²
_t²+t
t² -t
_ 2t-2
2t-2
0
(t⁷+t⁶+t⁵+t⁴+t³+t²+t-2)(t-1)=0
Если мы посмотрим на уравнение 8 степени, то можно увидеть, что чем больше число (+ или -), тем дальше значение уравнения от 0.
Значит надо искать корни в пределах [-1;1].
t⁷+t⁶+t⁵+t⁴+t³+t²+t-2 - действительных корней не имеет. Значит
t=1
Проведем обратную замену.
x-2=1
x=3
x² * (- x²-9)≤9*(-x²-9)
x² * (-x²-9)-9*(-x²-9)≤0
(-x²-9)*(x²-9)≤0
-(x²+9)*(x²-9)≤0 | : (-1)
(x²+9)*(x²-9)≥0
a*b≥0
если
x²+9>0 при любых значениях х, =>
x²-9≥0
(x-3)*(x+3)≥0 метод интервалов:
1. (x-3)*(x+3)=0
x₁=-3, x₂=3
2.
++++[-3]-------[3]++++++>x
3. x≤ - 3, x ≥ 3