Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке: а) y=x^3-2x^2+1, [0,5 ; + ∞] б) y=1/5x^5-x^2, [0 ; + ∞]

Answer 1

Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке:
а) y=x^3-2x^2+1, [0,5 ; + ∞ )              ]
б) y=1/5x^5-x^2,  [0 ; + ∞)                   ]
 
ЗАДАН  НЕ ЗАМКНУТЫЙ  ИНТЕРВАЛ  ???
а)
y=x³ - 2x²  +1,    x  ∈  [0,5 ; + ∞ ) 
---
Найдем критические точки , интервалы возрастания, убывания , точки экстремума и экстремумы данной функции. 
Функция (многочлен)  имеет производную в любой точке .
Если производная  f '(x) >0 на интервале, то Функция f(x)  возрастает на данном интервале , а если  f '(x) < 0  на интервале, то функция  убывает на данном интервале
y ' = (x³- 2x²  +1) ' =( x³) ' - (2x²) ' +(1)' =3x² -2*(x²) ' +0 = 3x² - 4x  ;
критические  точки
y '  =0 ;
3x(x - 4/3) =0 ;
x₁ =0    ∉ [ 0,5 ; + ∞ ) .
x₂ - 4/3 =0 ⇔ x₂= 4/3.
y'        +                 -                       +
0 4/3
y     ↑        мах      ↓       мин          ↑ 

Символы : "↑"(функция возрастает на интервале) , "↓" (функция убывает). 
y(4/3) =(4/3)³ - 2*(4/3)²  +1 =64/27 -32/9 +1 = (64 -96 +27)/27 = -5/27.
y(0,5)  =(0,5)³ -2*(0,5)²  +1 = 0,125 -0,5 +1 =  0,525 .
наименьшее значение:  - 5 / 27≈ -0,185  ( в точке  x = 4/3)
наибольшее  значение не существует  (если  x → +∞ , то y → +∞)
---
ЕСЛИ  допустим   не ∞,   а  0,8  ( почти   перевернутый  ∞ )
у(0,8) = (0,8)³ -2*(0,8)² +1  =(0,8)²*(0,8 - 2) +1 =0,64* (-1,2) +1 = 0,232
Тогда  наименьшее значение  - 5 / 27≈ -0,185  ( в точке  x = 4/3)   , а  
наибольшее   0,525   ( в точке  x = 0,5 ).

б)
 y=(1/5)*x⁵ - x²  ,   x  ∈  [0 ; + ∞ )                ]
 y '  = ( (1/5)*x⁵ - x² ) ' = (1/5)*5 *x⁴ -2x= x⁴ - 2x= x(x³- (∛2)³=
x(x -∛2) (x² +x∛2+(∛2)² )
y ' =0 ;
x(x -∛2) = 0   * * * x² +x∛2+(∛2)² = (x +(1/2)*∛2  )²  +(3/4)∛2)²  > 0 * * *
y '        +                 -                  +
0  ∛2
y     ↑        мах    ↓       мин          ↑ 

y(0) = 0
y(∛2) = (1/5)* (∛2)⁵ - (∛2)²  = (2∛4)/5 - ∛4) /5=(∛4)*(2/5 - 1) = -(3∛4) /5
наименьшее значение:   -(3∛4) /5≈    ( в точке  x = ∛2   )
наибольшее  значение не существует  (если  x → +∞ , то y → +∞)