Question

Решите уравнение: sin^2x+2√3 sinx+3cos^2x=0

Answer 1

$sin^2 x+2\sqrt{3}sin x+3cos^2 x=0$
используем тождество $sin^2 a+cos^2 a=1$
$sin^2 x+2\sqrt{3}sin x+3(1-sin^2 x)=0$
$sin^2 x+2\sqrt{3}sin x+3-3sin^2 x=0$
$-2sin^2 x+2\sqrt{3}sin x+3=0$
$2sin^2 x-2\sqrt{3}sin x-3=0$
делаем замену
$sin x=t, -1 \leq t \leq 1$
получаем квадратное уравнение:
$2t^2-2\sqrt{3}t-3=0$
$D=(2\sqrt{3})^2-4*2*(-3)=12+24=36=6^2$
$t_1=\frac{2\sqrt{3}+6}{2*2}=\frac{\sqrt{3}+3}{2}1$ - не подходит
$t_2=\frac{2\sqrt{3}-6}{2*2}=\frac{\sqrt{3}-3}{2}$
возвращаемся к замене
$sin x=\frac{\sqrt{3}-3}{2}$
$x=(-1)^k*arcsin \frac{\sqrt{3}-3}{2}+\pi*k$
$x=(-1)^{k+1}*arcsin \frac{3-\sqrt{3}}{2}+\pi*k$, k є Z