Question

А)решите уравнение 2cosx -2cos^2x+sin^2x=0 б)найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3пи; 9пи/2] !

Answer 1

Решите уравнение 
а)2cosx -2cos²x +sin²x =0 ;  
б) Найдите все корни этого уравнения  принадлежащие отрезку [ 3π ; 9π/2 ]

а)
2cosx -2cos²x +1 -cos²x =0 ;
3cos²x -2cosx -1 =0 ;  
* * *3cos²x -3cosx +cosx -1 =3cosx(cosx - 1) +(cosx -1) =(cosx - 1)(3cosx +1) * *
[ cosx = 1 ; cosx = -1/3
или  стандартно, замена: cosx =t  
3t² -2t  -1 =0 ;     D/4 =(2/2)² -3*(-1) =4 =2²     * * * D =16 * * *
t₁= (1+2) /3 =1  ;
t₂  =(1-2) /3 = - 1/3.

а₁)
cosx =1 ; 
x =2πn , n ∈ Z.
 или  
а₂)
cosx = -1/3 ;
x = ± ( π -arccos(1/3)  ) +2πk , k ∈ Z.  

ответ: 2πn , n ∈ Z  и    ± ( π -arccos(1/3)  ) +2πk , k ∈ Z
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *  * * * * * * * * *
б)    x ∈[ 3π ; 9π/2 ]

б₁)  x =2πn , n ∈ Z.
3π ≤ 2πn  ≤ 9π/2⇔ 3/2  ≤ n  ≤ 9/4 ⇒ n =2 , 
т.е. x =4π .
---
б₂) x = ± ( π -arccos(1/3)  ) +2πk , k ∈ Z.  разделяем 
б₂₁)
3π ≤ - π +arccos(1/3)  +2πk  ≤ 9π/2 ;
4π - arccos(1/3) ≤ 2πk ≤ 11π/2 -arccos(1/3) 
2 - arccos(1/3) / 2π ≤  k ≤  11/4 -arccos(1/3) / 2π    ⇒ k =2 , 
 т.е. x = 3π +arccos(1/3)  

б₂₂)
3π ≤  π -arccos(1/3)  +2πk  ≤ 9π/2 ;
 2π +arccos(1/3)  ≤ 2πk ≤  7π/2 +arccos(1/3) ;
1 +arccos(1/3) / 2π  ≤ k ≤  7/4  +arccos(1/3) / 2π ⇒  k∈∅

ответ:  3π +arccos(1/3) ,  4π .

Удачи !