Question

Найдите при каком значении параметра p графики функций 1. f(x)=psin^2x+2cosx-p 2. g(x)=4-2pcosx имеют хотя бы одну общую точку

Answer 1

task / 24733636
---.---.---.---.---.---.
Найдите при каком значении параметра p графики функций 
1. f(x)=psin^2x+2cosx-p
2. g(x)=4-2pcosx 
Имеют хотя бы одну общую точку

графики функций   f(x) и g(x)  имеют хотя бы одну общую точку означает 
(аналитически ) что уравнение  f(x)= g(x)  имеет хотя бы одно решение.
psin²x+2cosx - p  = 4 -2pcosx  ;   * * * sin²x+cos²x =1⇒sin²x =1 - cos²x * * *
р(1 -cos²x) + 2cosx - p  = 4 -2pcosx  ;
p*cos²x -2(p+1)*cosx +4 = 0 ;
Если  p =0 (не квадратное уравнение)  то получается  уравнение cosx =2 которое  не имеет решения. Значит должен быть ( p ≠ 0)  квадратное уравнение.
Замена t =cosx ,  -1 ≤ t ≤1  * * *  t∈ [ -1 ;1]  * * *
уравнение принимает вид:
pt² -2(p+1)t² +4 = 0 ; D/4 =(p+1)² - 4 =(p-1)²  ≥0  означает, что квадратное  уравнение при всех значениях p имеет решения  
t₁ =( p+1 +p -1 ) /p =2   ∉  [ -1 ;1] _ не решение  
t₂ =( p+1 -(p -1) ) /p =2/p      * * * р =1⇒ t₂=cosx =2 не имеет решение * * *
Первоначальное уравнение  будет иметь решение ,если  -1≤ t₂ ≤1
-1 ≤ 2/p ≤1 это двойное неравенство равносильно (⇔) системе  неравенств: {  2/p ≥ -1≥0 ; 2/p ≤ 1.  ⇔ { 2/p +1≥0 ; 1 -2/p ≥0. ⇔
{ (p+2)/p ≥0 ; (p-2)/p ≥0.⇒(методом интервалов )   p ∈ ( -∞ ; - 2] ∪ [ 2 ;∞) .
 
[-2] (0)
(0)[ 2]

ответ : p ∈ ( -∞ ; - 2] ∪ [ 2 ;∞) .