Question

Решить дифференциальное уравнение xydy=(x^2-y^2)dx

Answer 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальное уравнение первого порядка $y'=f(x;y)$ будем называть однородным, если его правая часть, то есть, $f(x;y)$ является однородной функцией нулевого измерения относительно своих х и у, то есть, для нее выполняется тождество:
$f(\lambda x,\lambda y)=f(x;y)$

$xydy=(x^2-y^2)dx|:dx\\ xyy'=x^2-y^2$
Убедимся, что данное дифференциальное уравнение является однородным. Воспользуемся условием однородности
$\lambda x\lambda yy'=(\lambda x)^2-(\lambda y)^2\\ \\ \lambda^2xyy'=\lambda^2(x^2-y^2)\\ \\ xyy'=x^2-y^2$

Итак, дифференциальное уравнение является однородным.

Пусть $y=ux$, тогда $y'=u'x+u$ получаем

$x*ux*(u'x+u)=x^2-u^2x^2\\ u'xu+u^2=1-u^2\\ u'x= \frac{1-2u^2}{u}$
Получили уравнение с разделяющимися переменными

$\frac{du}{dx} *x= \frac{1-2u^2}{u}\\ \\ \frac{udu}{1-2u^2} = \frac{dx}{x}$

Интегрируя обе части уравнения, получаем

$\displaystyle \frac{1}{2} \int\limits \frac{du^2}{1-2u^2} =\int\limits \frac{dx}{x} \\ \\ - \frac{1}{4} \ln|1-2u^2|=\ln|x|+\ln C\\ \\ \\ \ln\bigg| \frac{\sqrt[4]{C}}{ \sqrt[4]{1-2u^2} } \bigg|=\ln|x|\\ \\ \\ x^4= \frac{C}{1-2u^2} \\ \\ \\ \frac{C}{x^4} =1-2u^2\\ \\ \\ \frac{C-x^4}{x^4} =-2u^2\\ \\ \\ u=\pm \sqrt{ \frac{x^4-C}{2x^4} }=\pm \frac{\sqrt{x^4-C}}{x^2\sqrt{2}}$

Обратная замена

$\displaystyle \frac{y}{x} =\pm \frac{\sqrt{x^4-C}}{x^2\sqrt{2}} \\ \\ \\ y=\pm \frac{\sqrt{x^4-C}}{x\sqrt{2}}$

Получили общее решение.

Answer 2

$(x^2-y^2)\ dx-xy\ dy=0$

Домножим уравнение на x:

$\frac{1}{2}(x^2-y^2)\ dx^2-\frac{1}{2}x^2\ dy^2=0; \ x^2=p;\ y^2=q; \ (p-q)\ dp-p\ dq=0;$

$p dp - (q\ dp+ p\ dq)=0;\ d(\frac{p^2}{2})-d(pq)=0; d(p^2-2pq)=0; p^2-2pq=C;$

$x^4-2x^2y^2=C$

Если требуется получить y как функцию от x, то 

$y^2=\frac{x^4-C}{2x^2}; y=\pm\frac{\sqrt{x^4-C}}{x\sqrt{2}}$

Решение x=0 теряется на последнем этапе, поэтому его нужно добавить в ответ.