Question

Доброго всем дня с неоднородным дифференциальным уравнением cпасибо ! : )

Answer 1

ПРИМЕНИМ МЕТОД ЛАГРАНЖА

Найдем решение однородного уравнения следующего вида
$y''+y=0$
Воспользуемся методом Эйлера.
Пусть $y=e^{kx}$, тогда имеем характеристическое уравнение
$k^2+1=0\\ k=\pm i$

Тогда общее решение однородного уравнения:
$y_o=C_1\cos x+C_2\sin x$

2) Определим функции $C_1(x)$ и $C_2(x)$ из решения след. системы :

$\displaystyle \left \{ {{C_1'(x)\cos x+C_2'(x)\sin x=0} \atop {-C_1'(x)\sin x+C_2'(x)\cos x=ctg x}} \right.$

Решим эту систему методом Крамера

$\det(X)= \left|\begin{array}{ccc}\cos x&& \sin x\\ -\sin x&& \cos x\end{array}\right|=\cos^2x+\sin^2x=1\\ \\ \det(X_1)= \left|\begin{array}{ccc}0&& \sin x\\ ctgx&& \cos x\end{array}\right|=-ctgx*\sin x=-\cos x\\ \\ \det(X_2)= \left|\begin{array}{ccc}\cos x&& 0\\ -\sin x&& ctg x\end{array}\right|=\cos x*ctg x$

Тогда

$C_1'(x)= \dfrac{\det(X)}{\det(X_1)} =-\cos x\\ \\ \\ C_2'(x)= \dfrac{\det(X)}{\det(X_2)} =\cos x*ctg x$

Интегрируя обе части уравнения, имеем

$\displaystyle \left \{ {{C_1=-\sin x+C_1} \atop {C_2=\cos x-\ln|ctg x+ \frac{1}{\sin x}|+C_2 }} \right.$

Общее решение неоднородного:

$\boxed{y=C_1\cos x+C_2\sin x-\sin x\ln |ctg \frac{x}{2} |}$