Рациональным числом называется такое число,которое не представляется в виде бесконечной периодической дроби. А вот иррациональное - бесконечная периодическая дробь. Иначе говоря,корень должен быть "тяжело извлекаем" в случае иррационального числа. Вот,например случай 2)-рациональное,очевидно,это 13. Рассмотрим случай 4).Переведём подкоренное в неправильную дробь - 25\4,корень извлекается,будет 5\2,следовательно,число рациональное. В случае 3) степень чётная,поэтому при перемножении можно убедиться,что число будет рациональным(целым здесь) Из 1,6 корень не извлечём. Хочется 4 приплести,да не выйдет. Не так давно объясняла другому человеку случай 4). Послушайте,если вам на экзамене попадутся десятичные дроби под корнями и потребуется выбрать рациональное число,берите ТО,У КОТОРОГО ПОСЛЕ ЗАПЯТОЙ ЧЁТНОЕ КОЛИЧЕСТВО ЗНАКОВ. Здесь 1 запятая после запятой.Случай 1 вылетает.
(x+1/x)^2+(x+1/x)-6=0
x+1/x=a
a^2+a-6=0
Теорема Виетта сумма корней -1, произведение -6
а= -3 а=2
x+1/x = -3
x^2+3x+1=0
x= -3/2 +- √(9-4)/2 = -3/2 +- √5/2
x+1/x = 2
x^2-2x+1 =0
(x-1)^2=0
x=1
Итого три корня
x=1
x= -3/2+√5/2
x= -3/2 - √5/2