Question

При каком значении параметра р вектор q−−={4; −5; p} является линейной комбинацией векторов m−−−={1; 1; −5} и n−−={2; 1; −4} ?

Answer 1

Третий вектор является комбинацией первых двух, когда детерминант из их координат равен нулю. Решаем

$\left|\begin{array}{ccc}1&1&-5\\2&1&-4\\4&-5&p\end{array}\right| = 4(-4+5)+5(-4+10)+p(1-2) = -p+34=0$

ответ: при p=34

Answer 2

Покажу еще одно решение по определению:

Существует всего две линейные операции:
1) сложение
2) умножение на число
Пусть вектор m умножается на число а, вектор n - на число b, тогда:

$a(1;1;-5)+b(2;1;-4)=(4;-5;p) \\ \\ (a;a;-5a)+(2b;b;-4b)=(4;-5;p) \\ \\ \left\{\begin{matrix} a+2b=4 & \\ a+b=-5 & \\ -5a-4b=p & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=4-2b & \\ 4-2b+b=-5 & \\ -5a-4b=p & \end{matrix}\right. \\ \\ \\ 4-b=-5 \Leftrightarrow b=9 \\ \\ a=4-2*9=4-18=-14 \\ \\ p=-5*(-14)-4*9=34 \\ \\ OTBET: 34$