Question

Решите 2sin^2x-7sinxcosx+6cos^2x=0

Answer 1

Разделив обе части уравнения на cos²x≠0 получим

2tg²x - 7tgx + 6 = 0

Пусть tg x = t, тогда получаем 

2t² - 7t + 6 = 0

D = 49 - 48 = 1

t1 = (7+1)/4 = 2

t2 = (7-1)/4 = 3/2

Обратная замена

tg x = 2  откуда  x1 = arctg2 + πn,n ∈ Z

tg x = 3/2  откуда  x2 = arctg(3/2) + πn,n ∈ Z

Answer 2

Однородное тригонометрическое уравнение второй степени. решается делением обоих частей на $cos^2x$
$2sin^2x-7sinxcosx+6cos^2x =0 |:cos^2x$
$cosx \neq 0$
$x \neq \frac{ \pi }{2} + \pi n$, подстановкой легко проверить, что данное значение не является решением уравнения, поэтому делим спокойно.
$2 \frac{sin^2x}{cos^2x} -7 \frac{sinxcosx}{cos^2x} +6 \frac{cos^2x }{cos^2x } =0$
$2tg^2x-7tgx+6=0$
замена:
$tgx=a$
$2a^2-7a+6=0$
$D = 49-48 = 1^2$
$a_{1}= \frac{7+1}{4} =2$
$a_{2}= \frac{7-1}{4} =1,5$
обратная замена:

$tgx = 2$
$x = arctg2+ \pi n$
$tgx = 1,5$
$x = arctg(1,5)+ \pi n$