Question

При каких действительных a множество пар действительных чисел (x; y) является линейным пространством при условии x+y=a−1?

Answer 1

Пусть у нас имеется множество таких пар. И рассмотрим две пары из этого множества: $z_{1}=( x_{1} , y_{1} )$ и $z_{2}=( x_{2} , y_{2} )$.

Соответственно для этих двух пар должны быть выполнены основные условия:
$x_{1} + y_{1} = a-1$
$x_{2} + y_{2} = a-1$

Введём на этом множестве операции сложения двух пар и умножения их на некоторое действительное число $\alpha$:
$z_{1} + z_{2} = ( x_{1} + x_{2} , y_{1} + y_{2} )$
$\alpha z_{1} = ( \alpha x_{1} , \alpha x_{2} )$

Необходимо обеспечить выполнение всех 8 аксиом линейного пространства.
    а)Рассмотрим операцию сложения.
         1)Свойство коммутативности($z_{1} + z_{2} = z_{2} + z_{1}$). Очевидно, это выполняется исходя из того, как определена операция сложения.
         2)Свойство ассоциативности($(z_{1} + z_{2} ) + z_{3} = z_{1} + ( z_{2} + z_{3} )$) Выполняется всегда. Чтобы убедиться, возьмите третью пару этого множества и произведите сложение по определению.
      
         3)В линейном пространстве обязан существовать нуль-вектор, такой, что  $z_{1} + 0 = z_{1}$. Здесь под нулём я имел в виду не число 0, а элемент линейного пространства, обладающий такими свойствами.
           Существует ли нулевая пара чисел в нашем множестве? При каких а это будет возможно?
           Очевидно, для обычного числа $t$ справедливо $t + 0 = t$. Поэтому
                            $z_{1} + 0 = ( x_{1} , y_{1} ) + (u, v) = ( x_{1} + u, y_{1} + v)= z_{1} = ( x_{1}, y_{1})$
Из этого равенства можно сразу записать, что
                     $x_{1} + u = x_{1} \\ x_{2} + v = x_{2}$
                     Откуда $u = 0, v = 0$
Итак, нулевая пара в нашем множестве имеет вид $0 = (0,0)$
А поскольку для каждой пары выполняется указанное в условии соотношение, то:
                              
                                              $x + y = 0 + 0 = a - 1 \\ a = 1$
Тогда соотношение принимает вид
                              
              $x + y = 0$, то есть
                  $y = -x$
        4)Для любого вектора найдём в этом множестве противоположный, такой, что
                   $z_{1} + (- z_{1} ) = ( x_{1} , y_{1} ) + (u,v) = 0 = (0,0)$
           Отсюда
                          $( x_{1} + u, y_{1} + v) = (0,0) \\ x_{1} + u = 0, y_{1} + v = 0 \\ u = - x_{1} , v = - y_{1}$
Таким образом, на множестве ДЛЯ КАЖДОГО вектора существует и противоположный вектор, причём
                            $-z = (-x,-y)$

Выполнение остальных аксиом здесь, в общем-то, достаточно очевидно, а именно
 $1\cdot z_{1} = z_{1}$
$\alpha ( \beta z_{1}) = ( \alpha \beta )z_{1} \\ ( \alpha + \beta )z_{1} = \alpha z_{1} + \beta z_{1} \\ \alpha (z_{1} + z_{2}) = \alpha z_{1} + \alpha z_{2}$
Здесь $\alpha , \beta$ полагаются действительными, а пары чисел - любые.

Справедливость этих аксиом следует из свойств операции сложения для обычных чисел.

Таки образом, установлено, что при $a = 1$ наше множество - действительно является линейным пространством.
Докажем, что при $a \neq 1$ оно уже таковым не является. Для этого возьмите любую пару чисел $z = (x,y)$. Теперь умножим вектор на число
     $\alpha \neq 1$,
                         $\alpha z = ( \alpha x, \alpha y)$. Тогда его координаты должны удовлетворять указанному в условии сотношению
                                      $\alpha x + \alpha y = a-1 \\ \alpha (x + y) = \alpha (a-1) \neq a-1$ ни при каком а.

Следовательно, при $a \neq 1$ указанное множество уже теряет свойства линейного пространства.

ответ: $a = 1$