Для упрощения заменим tgx на, например, а. Неравенство примет вид: (a-1)*(a^2 - (1/4)*a - 3/4) <= 0 Найдём нули (и одновременно точки смены знака) левой части: Сначала рассматриваем первую скобку: a - 1 = 0 a = 1 Теперь вторую скобку: a^2 - (1/4)*a - 3/4 = 0 Обычное квадратное уравнение. Находим дискриминант: D = (1/4)^2 - 4 *(-3/4) = 1/16 + 3 = 1/16 + 48/16 = 49/16 = (7/4)^2 Теперь корни: a1,2 = (1/4 +- 7/4) / 2 = {1; -3/4} Итого у нас есть обычный корень -3/4 и корень кратности два -1 - то есть в этой точке функция будет нулевой, но знак менять не будет. Наносим их на числовую ось, подставляем любое некое значение (пусть будет a=0 и ищем знаки функции): (0-1)*(0^2 - (1/4)*0 - 3/4) = -1*(-3/4) = 3/4 При а = 0, т.е. на интервале от -3/4 до 1, функция положительна. Значит слева от -3/4 она отрицательна (в этой точке знак меняется), а справа от 1 положительна (не меняется). Возвращаемся к неравенству. Надо найти, где всё это меньше либо равно нулю. Это интервал от минус бесконечности до -3/4 включительно и отдельно точка 1. Но это мы нашли интервалы для нашей замены a. А теперь вернёмся к х и проведём обратную замену. Получается совокупность неравенства и уравнения: tg x <= -3/4 tg x = 1 Решаем неравенство: Тут можно нарисовать единичную окружность и отложить эту область - чтобы тангенс был отрицательным, синус и косинус должны иметь разный знак (значит угол во второй либо четвёртой четверти), абсолютное значение синуса должен быть 3/4 от косинуса или менее. На единичной окружности это будет выглядеть как заштрихованная область. В письменном виде это можно выразить как: х = [arctg -3/4; П] или [arctg -3/4; 2П]. Можно найти значения угла с таким тангенсом, но оно явно не обычное, нужны таблицы Брадисса или калькуляторы. Решаем уравнение: tg x = 1 x = arctg 1 = П/4 + ПN, где N = 0,1,2... На единичной окружности это две точки друг напротив друга. Общим решением будет совокупность решений неравенства (дающая два сектора окружности) и уравнения (дающая две точки). Спрашивайте, если что непонятно.
Для нахождения углов параллелограмма ABCD, мы можем воспользоваться свойствами параллелограмма.
Свойства параллелограмма:
1) Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны.
2) Противоположные углы параллелограмма равны.
Исходя из этих свойств, мы можем решить задачу.
1) Параллелограмм ABCD с углами 60° и 90°.
Угол ABC равен 60°, так как он противоположен углу ADC.
Угол BCD равен 120°, так как он противоположен углу BAC.
Угол CDA равен 60°, так как он противоположен углу BCD.
Угол DAB равен 120°, так как он противоположен углу ABC.
2) Параллелограмм ABCD с углами 45° и 135°.
Угол ABC равен 45°, так как он противоположен углу ADC.
Угол BCD равен 135°, так как он противоположен углу BAC.
Угол CDA равен 45°, так как он противоположен углу BCD.
Угол DAB равен 135°, так как он противоположен углу ABC.
3) Параллелограмм ABCD с углами 30° и 150°.
Угол ABC равен 30°, так как он противоположен углу ADC.
Угол BCD равен 150°, так как он противоположен углу BAC.
Угол CDA равен 30°, так как он противоположен углу BCD.
Угол DAB равен 150°, так как он противоположен углу ABC.
4) Параллелограмм ABCD с углами 60° и 160°.
Угол ABC равен 60°, так как он противоположен углу ADC.
Угол BCD равен 120°, так как он противоположен углу BAC.
Угол CDA равен 60°, так как он противоположен углу BCD.
Угол DAB равен 120°, так как он противоположен углу ABC.
5) Параллелограмм ABCD с углами 60° и 120°.
Угол ABC равен 60°, так как он противоположен углу ADC.
Угол BCD равен 120°, так как он противоположен углу BAC.
Угол CDA равен 60°, так как он противоположен углу BCD.
Угол DAB равен 120°, так как он противоположен углу ABC.
Таким образом, мы нашли все углы параллелограмма ABCD для каждого из предложенных вариантов.
Очень рад, что вы обратились ко мне за помощью в решении этой математической задачи. Позвольте разобрать ее пошагово, чтобы вы смогли легко понять каждую операцию.
Задача заключается в упрощении выражения "(7/8х³у²-5/6ху²)-(-7/12ху²+5/12х³у²)".
1. Начнем с раскрытия скобок: у нас есть два выражения, которые нужно вычесть друг из друга. При этом, второе выражение отрицательное, поэтому, чтобы вычесть его, мы будем менять знаки внутри скобок.
Выражение будет выглядеть так: (7/8х³у²-5/6ху²)+(7/12ху²-5/12х³у²).
2. Теперь сгруппируем подобные слагаемые.
Сначала сложим слагаемые с х³у²: 7/8х³у² + 5/12х³у². Для этого нужно найти общий знаменатель, который является наименьшим общим кратным знаменателей 8 и 12, а это будет 24.
3. После сгруппирования подобных слагаемых получаем: (31/24х³у²) + (-3/12ху²).
Можно сократить -3/12 на 3/4, так как и 3, и 12 делятся на 3.
Выражение теперь выглядит следующим образом: (31/24х³у²) + (-(3/4)ху²).
4. Теперь суммируем слагаемые в скобках. Обратите внимание на знак "-", который стоит перед вторым слагаемым.
(31/24х³у²) + (-(3/4)ху²) = (31/24х³у² - 3/4ху²).
5. Определим общий знаменатель в этом выражении. Наименьшим общим кратным знаменателей 24 и 4 будет 24.
Выражение примет вид: (31/24х³у² - 18/24ху²).
6. Теперь, когда у нас есть общий знаменатель, мы можем вычесть числители. В данном случае, числитель первого слагаемого является 31/24х³у², а числитель второго -18/24ху².
(31/24х³у² - 18/24ху²) = (31х³у² - 18ху²) / 24.
Итак, итоговый ответ: (31х³у² - 18ху²) / 24.
Это решение является полным и детальным, чтобы школьнику было понятно, как мы пришли к ответу и какие операции выполняли на каждом шаге. Надеюсь, что вы поняли каждый шаг решения и готовы использовать его для решения аналогичных задач в будущем. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их. Я всегда рад помочь вам!
(a-1)*(a^2 - (1/4)*a - 3/4) <= 0
Найдём нули (и одновременно точки смены знака) левой части:
Сначала рассматриваем первую скобку:
a - 1 = 0
a = 1
Теперь вторую скобку:
a^2 - (1/4)*a - 3/4 = 0
Обычное квадратное уравнение. Находим дискриминант:
D = (1/4)^2 - 4 *(-3/4) = 1/16 + 3 = 1/16 + 48/16 = 49/16 = (7/4)^2
Теперь корни:
a1,2 = (1/4 +- 7/4) / 2 = {1; -3/4}
Итого у нас есть обычный корень -3/4 и корень кратности два -1 - то есть в этой точке функция будет нулевой, но знак менять не будет. Наносим их на числовую ось, подставляем любое некое значение (пусть будет a=0 и ищем знаки функции):
(0-1)*(0^2 - (1/4)*0 - 3/4) = -1*(-3/4) = 3/4
При а = 0, т.е. на интервале от -3/4 до 1, функция положительна. Значит слева от -3/4 она отрицательна (в этой точке знак меняется), а справа от 1 положительна (не меняется).
Возвращаемся к неравенству. Надо найти, где всё это меньше либо равно нулю. Это интервал от минус бесконечности до -3/4 включительно и отдельно точка 1.
Но это мы нашли интервалы для нашей замены a. А теперь вернёмся к х и проведём обратную замену. Получается совокупность неравенства и уравнения:
tg x <= -3/4
tg x = 1
Решаем неравенство:
Тут можно нарисовать единичную окружность и отложить эту область - чтобы тангенс был отрицательным, синус и косинус должны иметь разный знак (значит угол во второй либо четвёртой четверти), абсолютное значение синуса должен быть 3/4 от косинуса или менее. На единичной окружности это будет выглядеть как заштрихованная область. В письменном виде это можно выразить как:
х = [arctg -3/4; П] или [arctg -3/4; 2П]. Можно найти значения угла с таким тангенсом, но оно явно не обычное, нужны таблицы Брадисса или калькуляторы.
Решаем уравнение:
tg x = 1
x = arctg 1 = П/4 + ПN, где N = 0,1,2...
На единичной окружности это две точки друг напротив друга.
Общим решением будет совокупность решений неравенства (дающая два сектора окружности) и уравнения (дающая две точки).
Спрашивайте, если что непонятно.