Алгебра: Решить уравнение √2 cos2x = cosx+sinx

Замена: Имеем квадратичную функцию , графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх.Найдем возможные точки пересечения параболы с осью абсцисс.Для этого решим квадратное уравнение:Найдем дискриминант данного уравнения:Имеем , значит данное уравнение имеет ровно 2 корня:Имеем две точки пересечения параболы с осью абсцисс. Пусть . Тогда . Имеем неверное неравенство. Следовательно, при всех значениях параметра имеем .Тогда квадратичная функция будет меньше 0 при Последнее можно записать...

Решить уравнение √2 cos2x = cosx+sinx

👇

Увидеть ответ

Ответ:

srySyutoduofyi

25.06.2020

√2cos2x = cosx+sinx
√2(cos²x - sin²x) - (cosx + sinx) = 0
√2(sinx + cosx)(cosx - sinx) - (cosx + sinx) = 0
(sinx + cosx)(√2cosx - √2sinx - 1) = 0
1) sinx + cosx = 0
sinx = -cosx
tgx = -1
x = -π/4 + πn, n ∈ Z
2) √2cosx - √2sinx - 1 = 0
√2cosx - √2sinx = 1
√2/2cosx - √2/2sinx = 1/2
cosx·cos(arccos(√2/2) - sinx·sin(arccos(√2/2)) = 1/2
cos(x + arccos(√2/2)) = 1/2
cosx(x + π/4) = 1/2
x + π/4 = ±π/3 + 2πk, k ∈ Z
x = ± π/3 - π/4 + 2πk, k ∈ Z
ответ: x = -π/4 + πn, n ∈ Z; ± π/3 - π/4 + 2πk, k ∈ Z.

4,7(66 оценок)

Открыть все ответы

Ответ:

Kisha12345

25.06.2020

Найдём 1 производную функции y'=3*x²-6 и приравняем её к нулю 3*х²=6⇒х1=√2 (min, производная меняет знак с - на + при возрастании х) и х2=-√2 (min, производная меняет знак с + на - при возрастании х). Левее х2 и правее х1 производная неограниченно возрастает, поэтому к точке х2 слева функция возрастает, и вправо от точки х1 функция также возрастает. В промежутке х1 и х2 функция убывает.

ответ: точки экстремума х1 и х2. К точке х2 слева функция возрастает, и вправо от точки х1 функция также возрастает. В промежутке х1 и х2 функция убывает.

4,5(16 оценок)

Ответ:

timati06blacstar

25.06.2020

$8.58. \ 4^{x} - (2a + 1)2^{x} + a^{2} + a < 0$

$(2^{x})^{2} - (2a + 1)2^{x} + a^{2} + a < 0$

Замена: $2^{x} = t, \ t 0$

$t^{2} - (2a + 1)t + a^{2} + a < 0$

Имеем квадратичную функцию $f(t) = t^{2} - (2a + 1)t + a^{2} + a$ , графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх.

Найдем возможные точки пересечения параболы с осью абсцисс.

Для этого решим квадратное уравнение:

$t^{2} - (2a + 1)t + a^{2} + a = 0$

Найдем дискриминант данного уравнения:

$D = (2a + 1)^{2} -4 \cdot 1 \cdot (a^{2} + a) = 4a^{2} + 4a + 1 - 4a^{2} - 4a = 1$

Имеем D = 1 0 , значит данное уравнение имеет ровно 2 корня:

$t_{1} = \dfrac{(2a + 1) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \dfrac{2a + 1 + 1}{2} = a + 1$

$t_{2} = \dfrac{(2a + 1) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \dfrac{2a + 1 - 1}{2} = a$

Имеем две точки пересечения параболы с осью абсцисс.

Пусть $t_{1} < t_{2}$ . Тогда $a + 1 < a; \ 1 < 0$ . Имеем неверное неравенство. Следовательно, при всех значениях параметра имеем $t_{1} t_{2}$ .

Тогда квадратичная функция f(t) будет меньше 0 при $t \in (t_{2}; \ t_{1})$

Последнее можно записать так:

$\displaystyle \left \{ {{t t_{2}} \atop {t < t_{1}}} \right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left \{ {{t a \ \ \ \ \ } \atop {t < a + 1}} \right.$

Обратная замена:

$\displaystyle \left \{ {{2^{x} a \ \ \ \ \ } \atop {2^{x} < a + 1}} \right.$

Если $a \leq -1$ , то имеем: $\displaystyle \left \{ {{x \in \mathbb{R}} \atop {x \in \varnothing }} \right.$

Решением такой системы неравенств является $x \in \varnothing$

Если , то имеем: $\displaystyle \left \{ {{x \in \mathbb{R} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, } \atop {x < \log_{2}(a+1)}} \right.$

Решением такой системы неравенств является $x < \log_{2}(a+1)$

Если a 0 , то имеем: $\displaystyle \left \{ {{x \log_{2}a \ \ \ \ \ \ \ } \atop {x < \log_{2}(a+1)}} \right.$

Решением такой системы неравенств является интервал $x \in (\log_{2}a; \ \log_{2}(a+1))$

если $a \in (-\infty; \ -1]$ , то нет корней;если $a \in (-1; \ 0]$ , то $x \in (-\infty; \ \log_{2}(a+1));$ если $a \in (0; \ +\infty)$ , то $x \in (\log_{2}a; \ \log_{2}(a+1)).$