1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
на промежутке [-4; 1]
Точка разрыва x=9 в заданный интервал не входит.
Первая производная для нахождения точек экстремумов.
Обе точки экстремумов не попадают в интервал x∈[-4; 1]
Значения функции на концах интервала
ответ: наименьшее значение функции 
;
наибольшее значение функции F(1) = 0,75
-----------------------------------------------------------------------------
2. Записать уравнение касательной к графику
функции F(x)=x⁴-2x в точке x₀=-1
Уравнение касательной имеет вид y = F(x₀) + F’(x₀)·(x - x₀)
F(-1) = x⁴-2x = (-1)⁴ - 2(-1) = 1+2 = 3
F'(-1) = (x⁴-2x)' = 4x³ - 2 = 4(-1)³ - 2 = -6
y = F(x₀) + F’(x₀)·(x - x₀) = 3 - 6 (x + 1) = 3 - 6x -6 = -6x - 3
ответ: уравнение касательной y = -6x - 3
---------------------------------------------------------------------------
3. Исследовать функцию и построить ее график F(x)=x³-3x²
1) Область определения D(F) = R
2) Область значений E(F) = R
3) Нули функции
F(x)=x³-3x² = 0; x²(x - 3) = 0; x₁ = 0; x₂ = 3
4) Пересечение с осью OY
x = 0; F(0) = 0³-3·0² = 0
5) Экстремумы функции
F'(x) = 0; (x³-3x²)' = 0; 3x² - 6x = 0; 3x(x - 2) = 0;
x₁ = 0; F(0) = 0; F"(0) = 6x - 6 = -6 ⇒ локальный максимум.
x₂ = 2; F(2) = 2³-3·2² = -4; F"(2) = 6x - 6 = 6 ⇒ локальный минимум.
6) Монотонность функции.
Интервалы знакопостоянства первой
производной F'(x) = 3x(x - 2)
++++++++ (0) ------------- (2) +++++++++> x
/ \ /
x ∈ (-∞; 0)∪(2; +∞) - функция возрастает
x ∈ (0;2) - функция убывает
7) Функция не периодическая, общего вида (не является чётной, не является нечётной).
8) Дополнительные точки для построения
x₃ = -1; y₃ = -4; x₄ = 1; y₄ = -2
9) График функции в приложении
Решите уравнение методом разложения на множители
1) √x⁵-3√x³-18√x= 0 ОДЗ : x≥0
x²√x -3x√x -18√x =0⇔ √x(x² -3x -18) =0 ⇔x(x -6)(x+3) =0
x =0 ; x =6 ; x = - 3 ∉ ОДЗ →посторонний корень.
2) ⁴√х⁹-2⁴√х⁵-15⁴√х=0 ОДЗ : x≥0
x²(⁴√х -2x⁴√х-15⁴√х) =0 ⇔ - 16⁴√х *x² =0 ⇒ x =0
Решите уравнение методом введения новой переменной
3) √(x²+1 - 2x )- 6√(x-1) = 7
√(x - 1 )² - 6√(x-1) = 7 ; замена : t =√(x-1) ≥ 0
t² -6t -7 = 0 ⇒ по Виету t₁ = 7 ; t₂= - 1 →посторонний
или t₁/₂ = 3 ± 4 * * * √D₁ = √(3² -(-7) ) =√(9+7) =√16 =4; D₁ =D/4 * * *
√(x-1) =7 ⇔x- 1 =7² ⇒ x= 50 .
* * *ИЛИ t² -6t -7 =0 t² -7t +t -7 =0 ⇔t(t -7) +(t -7) =0⇔(t -7)(t+ 1) =0 * * *
4) √(x²-4x+4) - 6=5√(2 -x)
√(2-x)² - 6 = 5√(2 -x) замена : t =√(2-x) ≥ 0
t² -5t -6 =0 ⇒ по Виету t₁ = 6 ; t₂= - 1 →посторонний
√(2 -x) =6 ⇔2 - x =6²⇒ x = 2 -36 = -34 .
Решите уравнение, используя функционально-графические методы
5) 2ˣ = 6-x
у₁ =2ˣ → (возрастающая показательная функция: 2 >1 ) ;
{ ...(- 2 ; 1/4) , (- 1 ; 1/2) , (0 ; 1) , (1; 2) , (2 ; 4) ; ...} ∈ графику
y₂ = - x +6 → ( ||y = kx+b || убывающая линейная функция: k = - 1 < 0 ).
{ (0 ;6) , (6 ; 0) . || (2 ; 4) } ∈ графику y₂
* * * графики постройте самостоятельно * * *
Пересечением графиков функций у₁ и y₂ получается ответ
x = 2 .
6) (1/3)ˣ= x + 4
у₁ = (1/3)ˣ → (убывающая показательная функция: 0<1/3<1)
{ ... (- 2 ; 9 ) , (-1; 3) , (0 ; 1) ; (1; 1/3) , (2 ; 1/9) ; ...} ∈ графику
у₂ = x + 4→ ( возрастающая линейная функция : k = 1 > 0)
{ ( - 4 ; 0) ; (0; 4) . || (-1 ; 3) }
x = -1 .
(267 - 18 * x) / (200 - 14 * x) = 1,5
(267 - 18x) / (200 - 14x) = 1,5
267 - 18x = 1,5 * (200 - 14x)
267 - 18x = 300 - 21x
21x - 18x = 300 - 267
3x = 33
x = 33/3
x = 11
ответ: через 11 дней
Проверка:
1-й магазин - остатки = 267 - (18 * 11) = 267 - 198 = 69 кг
2-й магазин - остатки = 200 - (14 * 11) = 200 - 154 = 46 кг
69/46 = 1,5
2.
1-й шкаф = x
1-й шкаф = x * 4
(x + 17) = (x * 4 - 25)
x + 17 = 4x - 25
25 + 17 = 4x - x
42 = 3x
x = 14
ответ: 14 книг было в 1-м шкафу, 56 книг - во 2-м.
Проверка:
(14 + 17) = (14 * 4 - 25)
31 = 31
3.
(7x + 1) - (9x + 3) = 5
7x - 9x = 5 - 1 + 3
7x - 9x = 7
-2x = 7
x = 7 / -2
x = -3,5
4.
3,4 + 2у = 7 * (у - 2,3)
3,4 + 2у = 7у - 16,1
3,4 + 16,1 = 7у - 2у
19,5 = 5у
у = 19,5 / 5
у = 3,9
5.
0,2 * (7 - 2у) = 2,3 - 0,3 * (у - 6)
0,2 * (7 - 2у) = 2,3 - 0,3у - 1,8
1,4 - 0,4у = 2,3 - 0,3у - 1,8
1,4 - 0,4у = 2,3 - 1,8 - 0,3у
1,4 - 0,4у = 0,5 - 0,3у
1,4 - 0,5 = 0,4у - 0,3у
1,4 - 0,5 = 0,1у
0,9 = 0,1у
у = 0,9 / 0,1
у = 9