Question

Sin2 x/2 (0; п/2) как решить этот интеграл

Answer 1

$\int\limits^{ \pi /2}_0 {sin^{2} \frac{x}{2} } \, dx$
Для взятие этого интеграла понизим степень синуса по формуле:
$sin^{2} \frac{x}{2}= \frac{1}{2} (1-cosx)$

$\int\limits^{ \pi /2}_0 {sin^{2} \frac{x}{2} } \, dx=\frac{1}{2} \int\limits^{ \pi /2}_0 {(1-cosx)} \, dx=\frac{1}{2}( \int\limits^{ \pi /2}_0 {1} \, dx - \int\limits^{ \pi /2}_0 {cosx} \, dx)=$

$=\frac{1}{2}( x - sinx)|^{ \pi /2}_0 =\frac{1}{2}( \frac{ \pi }{2} -0 - (1-0))=\frac{1}{2}( \frac{ \pi }{2} -1)= \frac{ \pi }{4} -\frac{1}{2}$