Question

A,b и c ненулевые целые числа. известно что a+b+c=0. докажите, что a³+b³+c³ делится на abc

Answer 1

1. Выделим a:

$a+b+c=0\\a=-(b+c)$

2. Преобразуем выражение суммы трёх кубов, убрав из него a:
$a^3+b^3+c^3=b^3+c^3+(-(b+c))^3=b^3+c^3-(b+c)^3$

Раскроем первую часть выражения по сумме кубов:
$b^3+c^3-(b+c)^3=(b+c)(b^2-bc+c^2)-(b+c)^3=\\=(b+c)(b^2-bc+c^2-(b+c)^2)=\\=(b+c)(b^2-bc+c^2-b^2-2bc-c^2)=(b+c)\cdot (-3bc)$

Теперь, наоборот, заменим (b+c) на а:
$(b+c)\cdot (-3bc)=-a\cdot (-3bc)=3abc$

3. Следовательно, $a^3+b^3+c^3=3abc$, если $a+b+c=0$, — отсюда очевидно, что это выражение делится на $abc.$