сколько корней имеет уравнение (cos2x-cosx)/sinx=0 на промежутке [-2π;2π ] ?
ОДЗ: sinx ≠ 0 . x ≠ π*n , n ∈ Z . --- cos2x - cosx = 0 ; 2cos²x -cosx -1 =0 ; замена : t = cosx 2t² - t -1 =0 ; D =1² -4*2( -1) = 1+8 =9 =3² t₁ =(1+3)/4 =1 ⇒ cosx =1 ⇔ sinx = 0 не удовлетворяет ОДЗ . t₂ =(1-3)/4 = -1/2 ⇒ cosx = -1/2 . x = ± 2π/3 +2π*k , k∈ Z .
x₁ = 2π/3 +2π*k , k∈ Z . Из них два решения на промежутке [-2π;2π ] : - 4π/3 (если k = -1 ) и 2π/3 (если k =0 ) . * * * - 2π ≤ 2π/3 +2π*k ≤ 2π ⇔ -1 ≤ 1/3 +k ≤ 1 ⇔ -1 - 1/3 ≤ k ≤ 1 -1/3 ⇒ k = -1 ; 0 * * * x₂ = -2π/3 +2π*k , k∈ Z .Из них два решения на промежутке [-2π;2π ] : - 2π/3 (если k = 0 ) и 4π/3 (если k =1 ) . * * * - 2π ≤ -2π/3 +2π*k ≤ 2π ⇔ -1 ≤ -1/3 +k ≤ 1 ⇔ -1 + 1/3 ≤ k ≤ 1 +1/3 ⇒ k = 0 ; 1 * * * ответ : 4 корней на промежутке [-2π;2π ] . * * * * * * * Другой решения : (cos2x-cosx) / sinx = 0 ⇔(системе) {cos2x - cosx = 0 ; sinx ≠ 0 . * * * требование sinx ≠ 0 определяет ОДЗ уравнения * * * * * * cosα - cosβ = - 2sin(α - β)/2*sin(α + β)/2 * * * cos2x - cosx = 0 ; -2sin(x/2)*sin(3x/2) =0. a) x/2 =π*k , k ∈ Z ; x =2π*k , k ∈ Z . b) 3x/2 =π*m , m ∈ Z --- x =2π*m/3 , m ∈ Z Серия решений x =2π*k входит в x =2π*m/3 , если m =3k ∈ Z , т.е. общее решение уравнения cos2x - cosx= 0 является x =2π*m/3, m ∈ Z . Из них нужно исключить m=3n x₁ =2π*(3n+1)/3 =2π/3 +2π*n , n ∈ Z . x₂ =2π*(3n -1)/3 = -2π/3 +2π*n , n ∈ Z .
Примем: Х км/час скорость по шоссе; 32/Х время по шоссе; (Х+20) скорость по автостраде; 60/(Х+20) время по автостраде. Так как общее время = 1 час, составим и решим уравнение: 32/Х + 60/(Х+20) = 1; приведем к общему знаменателю (Х*(Х+20)) и избавимся от него, умножив на него все члены уравнения: 32Х + 640 + 60Х = Х² + 20Х; Х²-72Х - 640 = 0; Д=72²+4*640 = 5184+2560 = 7744; Д>0, продолжим; Х₁ = (72 + √Д)/2 = (72 + √7744)/2 = (72+88)/2 = 80 (км/час); Х₂ =72-√Д = -8 (в расчет не берем, как не имеющий смысла) Х+20 = 80+20 = 100 (км/час); ответ: скорость по шоссе 80км/час; скорость по автостраде 100 км/час; Проверка: 32/80 +60/100 = 1; 0,4+0,6=1; 1=1
