Алгебра есть не что иное, как математический язык, при для
обозначения отношений между количествами”.
И. Ньютон
Алгебра – часть математики, которая изучает общие свойства действий над
различными величинами и решение уравнений, связанных с этими действиями.
Решим задачу: “Возрасты трех братьев 30, 20 и 6 лет. Через сколько лет
возраст старшего будет равен сумме возрастов обоих младших братьев?”
Обозначив искомое число лет через х, составим уравнение: 30 + х = (20+х) +
(6 + х) откуда х = 4. Близкий к описанному метод решения задач был известен
еще во II тысячелетии до н.э. писцам Древнего Египта (однако они не
применяли буквенной символики). В сохранившихся до наших дней
математических папирусах имеются не только задачи, которые приводят к
уравнениям первой степени с одним неизвестным, как в задаче о возрасте
братьев, но и задачи, приводящие к уравнениям вида ах2 = b.
Еще более сложные задачи умели решать с начала II тысячелетия до н.э. в
Древнем Вавилоне; в математических текстах, выполненных клинописью на
глиняных пластинках, есть квадратные и биквадратные уравнения, системы
уравнений с двумя неизвестными и даже простейшие кубические уравнения. При
этом вавилоняне также не использовали букв, а приводили решения “типовых”
задач, из которых решения аналогичных задач получались заменой числовых
данных. В числовой форме приводились и некоторые правила тождественных
преобразований. Если при решении уравнения надо было извлекать квадратный
корень из числа а, не являющегося точным квадратом, находили приближенное
значение корня х: делили а на х и брали среднее арифметическое чисел х и
а/х.
Для таких уравнений Диофант искал лишь положительные рациональные решения.
С VI в. центр математических исследований перемещается в Индию и Китай,
страны Ближнего Востока и Средней Азии. Китайские ученые разработали метод
последовательного исключения неизвестных для решения систем линейных
уравнений, дали новые методы приближенного решения уравнений высших
степеней. Индийские математики использовали отрицательные числа и
усовершенствовали буквенную символику. Однако лишь в трудах ученых Ближнего
Востока и Средней Азии алгебра оформилась в самостоятельную ветвь
математики, трактующую вопросы, связанные с решением уравнений. В IX в.
узбекский математик и астроном Мухаммед ал-Хорезми написал трактат “Китаб
аль-джебр валь-мукабала”, где дал общие правила для решения уравнений
первой степени. Слово,,алъ-джебр" (восстановление), от которого новая наука
алгебра получила свое название, означало перенос отрицательных членов
уравнения из одной его части в другую с изменением знака. Ученые Востока
изучали и решение кубических уравнений, хотя не сумели получить общей
формулы для их корней.
В Западной Европе изучение алгебры началось в XIII в. Одним из крупных
математиков этого времени был итальянец Леонардо Пизанский (Фибоначчи) (ок.
1170 – после 1228). Его “Книга абака” (1202) – трактат, который содержал
сведения об арифметике и алгебре до квадратных уравнений включительно (см.
Числа Фибоначчи). Первым крупным самостоятельным достижением
западноевропейских ученых было открытие в XVI в. формулы для решения
кубического уравнения. Это было заслугой итальянских алгебраистов С. Дель
Ферро, Н. Тарталья и Дж. Кардано. Ученик последнего – Л. Феррари решил и
уравнение 4-й степени. Изучение некоторых вопросов, связанных с корнями
кубических уравнений, привело итальянского алгебраиста Р. Бомбелли к
открытию комплексных чисел.
Объяснение:
1.
(17³ + 16³) / 33- 17 × 16 = (4913 + 4096) / 33 - 272 = 9009 / 33 - 272 = 273 - 272 = 1
2.
a) 3b³ - 24 = 3(b³ - 8) = 3(b - 2)(b² + 2b + 4)
b) a² - 8ay + 16y² + 3a - 12y = (a - 4y)² + 3(a - 4y) = (a - 4y)(a - 4y + 3)
3.
a) (2y - 5)² + (3y - 5)(3y + 5) + 40y = 4y² - 20y + 25+ 9y² - 25 + 40y = 13y² + 20y
b) При y = -2:
13 × (-2)² + 20 × (-2) = 52 - 40 = 12
4.
x - y = 3, x² - y² = 87
x = 3 + y, x² - y² = 87
(3 + y)² - y² = 87
9 + 6y + y² - y² = 87
9 + 6y = 87
6y = 87 - 9
6y = 78
y = 13
x = 3 + 13
x = 16
(x, y) = (16, 13)
30x+16-5x=10x+80
25x-10x=80-16
15x=64
x=64/15