a) 
b) 
Объяснение:
Будем раскладывать на множиели при этой формулы :
ax² + bx +c = a(x - x₁)(x - x₂)
a) Для начала нам потребуется найти корни :
x² - x -20 = 0
{ x₁ + x₂ = 1 (система)
{ x₁ × x₂ = -20
x₁ = - 4
x₂ = 5
⇒ x² - x -20 = 1(x - (-4))(x - 5) = (x+4)(x-5)
Теперь подставляем это выражение в знаменатель, а также раскладываем на множители числитель :
b) Так же, как и в примере, нам нужно найти корни, но уже двух многочленов : (x²+12x+27) и (x²+8x-9).
x² + 12x + 27 = 0
Буду решать через выделение полного квадрата :
(x + 6)² - 9 = 0
(x + 6)² = 9
x+6 = -3 x+6 = 3
x₁ = -9 x₂ = -3
⇒ x² + 12x + 27 = 1(x - (-9))(x - (-3)) = (x+9)(x+3)
Теперь разложим многочлен на множители, который в знаменателе :
x² + 8x - 9 = 0
Решаю опять же через выделение полного квадрата :
(x + 4)² - 25 = 0
(x + 4)² = 25
x+4 = -5 x+4 = 5
x₁ = -9 x₂ = 1
⇒ x² + 8x - 9 = 1(x - (-9))(x - 1) = (x+9)(x-1)
Теперь подставляем эти два выражения :
A*x = B * * * Линейное уравнение * * *
1) A ≠0 ⇒ x =B/A один корень * * * B : A * * *
2) A =0 , но B ≠0 нет корней _ x ∈ ∅ || пустое множество ||
* * * Например: 0*x = 3 * * *
3) A =0 и B =0 бесконечное множество корней * * * 0*x = 0 * * *
( x _ любое число || иначе x ∈( -∞; ∞) || )
(2a -1)*x = 2a² -5a +2 * * * 2( a² - (1/2 + 2)a + (1/2)*2 ) * * *
(2a -1)*x = 2(a -1/2)(a -2) ;
(2a -1)*x = (2a -1)(a-2) ; * * * A =(2a -1) ; B =2a² -5a +2 =(2a -1)(a-2) * * *
Если
1) 2a -1 ≠0 , т.е. a ≠1/2 , то одно решение: x=(2a -1)(a-2)/(2a-1)=a-2.
2) 2a -1 =0 , т.е. a =1/2 , то бесконечное множество корней * * *0*x =0 * * *
ответ: a ≠ 1/2 →одно решение или иначе один корень: x =a -2 .
a = 1/2 →x ∈( -∞; ∞) x любое число