1) Пусть число sqrt(2 + sqrt(2)) — рациональное. Тогда и его квадрат 2 + sqrt(2) рационален. Но это не так, 2 + sqrt(2) — сумма рационального и иррационального чисел. Противоречие.
(Доказательство иррациональности числа sqrt(2): пусть sqrt(2) = m/n, m/n - несократимая дробь, m,n — натуральные числа. Возводим в квадрат, домножаем на n^2, получаем m^2 = 2n^2, откуда m — чётное. Пусть m = 2M. Подставляем, сокращаем на 2, получаем n^2 = 2M^2, откуда n — тоже чётное, что противоречит предположению о несократимости дроби m/n)
2) Пусть число sqrt(5) + sqrt(2) - 1 рациональное, тогда и sqrt(5) + sqrt(2) тоже рациональное, и (sqrt(5) + sqrt(2))^2 = 5 + 2 + 2sqrt(10) = 7 + 2 sqrt(10) рациональное, тогда и sqrt(10) тоже рациональное. Но sqrt(10) — иррациональное, противоречие. Значит, sqrt(5) + sqrt(2) - 1 — иррациональное.
Иррациональность sqrt(10) доказывается аналогично: sqrt(10) = m/n, m^2 = 10n^2. Дальше можно, наример, точно так же, как и в примере выше, доказать, что m и n должны быть чётными.
Какое наименьшее значение и при каком значении переменной принимает выражение х²+14х-16?
при х=-14/2 x=-7 y (-7)=(-7)²+14(-7)-16=49-98-16=-65
или рассмотрим функцию y=х²+14х-16=(x+7)²-65, графиком этой функции является парабола, ветки параболы направлены вверх, (коэффициент при х² равен 1>0), вершина параболы - точка с координатами х0=-7, у0=-65, в вершине функция y=х²+14х-16 принимает наименьшее значение.
Таким образом, наименьшее значение выражение х²+14х-16 принимает при х0=-7 , и оно равно у0=-65.
(Доказательство иррациональности числа sqrt(2): пусть sqrt(2) = m/n, m/n - несократимая дробь, m,n — натуральные числа. Возводим в квадрат, домножаем на n^2, получаем m^2 = 2n^2, откуда m — чётное. Пусть m = 2M. Подставляем, сокращаем на 2, получаем n^2 = 2M^2, откуда n — тоже чётное, что противоречит предположению о несократимости дроби m/n)
2) Пусть число sqrt(5) + sqrt(2) - 1 рациональное, тогда и sqrt(5) + sqrt(2) тоже рациональное, и (sqrt(5) + sqrt(2))^2 = 5 + 2 + 2sqrt(10) = 7 + 2 sqrt(10) рациональное, тогда и sqrt(10) тоже рациональное. Но sqrt(10) — иррациональное, противоречие. Значит, sqrt(5) + sqrt(2) - 1 — иррациональное.
Иррациональность sqrt(10) доказывается аналогично: sqrt(10) = m/n, m^2 = 10n^2. Дальше можно, наример, точно так же, как и в примере выше, доказать, что m и n должны быть чётными.