Question

Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую (x+1)/3=(y-2)/-1=z/4 и перпендикулярной плоскости 3x+y-z+2=0

Answer 1

$\dfrac{x-x_0}{l} = \dfrac{y-y_0}{m} = \dfrac{z-z_0}{n}$ - уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0;\ y_0;\ z_0)$, с направляющим вектором $\{l;\ m;\ n\}$
$\dfrac{x+1}{3} = \dfrac{y-2}{-1} = \dfrac{z}{4}$ - уравнение прямой, проходящей через точку $(-1;\ 2;\ 0)$, с направляющим вектором $\vec{s}=\{3;\ -1;\ 4\}$

$Ax+By+Cz+D=0$ - уравнение плоскости с нормальным вектором $\{A;\ B;\ C\}$
$3x+y-z+2=0$ - уравнение плоскости с нормальным вектором $\vec{n}=\{3;\ 1;\ -1\}$

Искомое уравнение плоскости имеет вид:
$Ax+By+Cz+D=0$

Так как искомая плоскость проходит через заданную прямую, то она проходит и через точку (-1; 2; 0):
$-A+2B+D=0$

Так как искомая плоскость проходит через заданную прямую, то можно считать, что она параллельна заданной прямой. В этом случае, направляющий вектор прямой и нормальный вектор искомой плоскости перпендикулярны, а значит их скалярное произведение равно 0:
$\vec{s} \cdot \vec{N} =0$
$3A-B+4C=0$

Так как искомая плоскость перпендикулярная заданной плоскости, то их нормальные векторы перпендикулярны, то есть скалярное произведение этих векторов равно 0:
$\vec{n} \cdot \vec{N} =0$
$3A+B-C=0$

Составляем систему:
$\left\{\begin{array}{l} -A+2B+D=0 \\ 3A-B+4C=0 \\ 3A+B-C=0 \end{array}$
Складываем второе и третье уравнение:
$6A+3C=0 \\\ 2A+C=0 \\\ C=-2A$
Подставляем выражение для С в третье уравнение:
$3A+B+2A=0 \\\ B=-5A$
Подставляем выражение для В в первое уравнение:
$-A-10A+D=0 \\\ D=11A$

Искомое уравнение плоскости:
$Ax-5Ay-2Az+11A=0 \\\ x-5y-2z+11=0$