Question

Найдите все такие натуральные числа a∈n, что (2a+1)/(a−2) — целое число. в ответ запишите произведение этих чисел.

Answer 1

$\dfrac{2a+1}{a-2} = \dfrac{2a-4+5}{a-2} = \dfrac{2(a-2)+5}{a-2} = \dfrac{2(a-2)}{a-2} +\dfrac{5}{a-2} =2+\dfrac{5}{a-2}$
Сумма будет целым числом, если второе слагаемое $\dfrac{5}{a-2}$ - целое число.
Для того чтобы дробь $\dfrac{5}{a-2}$ представляла собой целое число, нужно чтобы знаменатель дроби $a-2$ был делителем числа 5. Это возможно при $a-2=\pm1;\pm 5$.
Проверим, будет ли число $a$ в данных ситуациях натуральным:
$a-2=1\Rightarrow a=3 \\\ a-2=-1\Rightarrow a=1 \\\ a-2=5\Rightarrow a=7 \\\ a-2=-5\Rightarrow a \neq -3(-3\notin N)$
Искомые числа а: 1, 3, 7. Их произведение: 21
ответ: 21