Определение.
Пусть функция y=f(x) определена на множестве D, а E — множество её значений. Обратная функция по отношению к функции y=f(x) — это функция x=g(y), которая определена на множестве E и каждому y∈E ставит в соответствие такое значение x∈D, что f(x)=y.
Таким образом, область определения функции y=f(x) является областью значений обратной к ней функции, а область значений y=f(x) — областью определения обратной функции.
Чтобы найти функцию, обратную данной функции y=f(x), надо:
1) В формулу функции вместо y подставить x, вместо x — y:
x=f(y).
2) Из полученного равенства выразить y через x:
y=g(x).
Пример.
Найти функцию, обратную функции y=2x-6.
1) x=2y-6
2) -2y=-x-6
y=0,5x+3.
Функции y=2x-6 и y=0,5x+3 являются взаимно обратными.
Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы I и III координатных четвертей).
y=2x-6 и y=0,5x+3 — линейные функции. Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой берём две точки.
Однозначно выразить y через x можно в том случае, когда уравнение x=f(y) имеет единственное решение. Это можно сделать в том случае, если каждое своё значение функция y=f(x) принимает в единственной точке её области определения (такая функция называется обратимой).
Теорема (необходимое и достаточное условие обратимости функции)
Если функция y=f(x) определена и непрерывна на числовом промежутке, то для обратимости функции необходимо и достаточно, чтобы f(x) была строго монотонна.
Причем, если y=f(x) возрастает на промежутке, то и обратная к ней функция также возрастает на этом промежутке; если y=f(x) убывает, то и обратная функция убывает.
Если условие обратимости не выполнено на всей области определения, можно выделить промежуток, где функция только возрастает либо только убывает, и на этом промежутке найти функцию, обратную данной.
Классический пример — функция y=x². На промежутке [0;∞) функция возрастает. Условие обратимости выполнено, следовательно, можем искать обратную функцию.
Так как область определения функции y=x² — промежуток [0;∞), область значений на этом промежутке — также [0;∞), то область определения и область значений обратной функции - также [0;∞).
1) x=y².
2)
Так как y≥0, то
то есть на промежутке [0;∞) y=√x - функция, обратная к функции y=x². Их графики симметричны относительно биссектрисы I и III координатных четвертей:
В алгебре наиболее известными примерами взаимно обратных функций являются показательная и логарифмическая функция, а также тригонометрические и обратные тригонометрические функции
1) у= 3х - 16;
2) у= 3/х - 16;
3) у= х/3 - 16;
4) у= (х - 16) / 3?
Выберите один или несколько ответов:
a. 1
b. 4
c. 3
d. 2
ответ a; b;c
Вопрос 2
Преобразуйте уравнений к виду у=кх+м. ответ запишите, используя русскую раскладку клавиатуры, не вставляя пробелов, точку в конце записи НЕ ставить.
5х+у = 4
ответ y=-5x+4
Выпишите коэффициенты к и м линейной функции у=кх+м. В ответе используйте русскую раскладку клавиатуры, укажите числа через точку с запятой (;) без пробелов и точек.
2у = - 4х+12 y=-2x+6
ответ: -2;6
Вопрос 4
Найдите значение функции у=15-3х, если её аргумент равен 9.
y=15-3*9=15-27=-12
Точку в конце записи НЕ ставить.
При каком аргументе значение функции у= 2х - 7 равно - 4?
В ответе записать только число, точку в конце записи НЕ ставить.
-4=2х-7 2х=7-4 2х=3 х=1.5
ответ: 1.5
Вопрос 6
Принадлежит ли графику функции у = 15 - 4х точка (-6;39) ?
Выберите один ответ:
a. нет
b. да
y=15-4*(-6)=15+24=39
ответ b) да