* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Решите уравнение :
1. sin 3x+ sin x + |sin 2x| =0
2. (sin2x+2sin x) / (1- cos x)= 2( 1+ cos x)
1. - π/3 +2πn или - 2π/3 +2πn , где n ∈ ℤ .
2. 2πk , π/2+2πk , π +2πn n ∈ ℤ .
Объяснение:
* * * sinα+sinβ = 2sin( (α+β)/2)*cos( (α-β)/2) , sin2x=2sinx*cosx * * *
1. sin 3x+ sin x + |sin 2x| =0 ⇔ 2sin2x*cos x + |sin 2x| =0
a) sin2x < 0 * * * 2sinx*cosx < 0 * * *
2sin2x*cos x + |sin 2x| =0⇔2sin2x*cos x - sin 2x =0⇔2sin2x(cos x-1/2)=0
cos x - 1/2=0 ⇔cos x= 1/2 ⇒ x = ±π/3 +2πn , n ∈ ℤ .
учитывая sin2x < 0 получается x = - π/3 +2πn , n ∈ ℤ .
б) sin2x ≥ 0 * * * 2sinx*cosx ≥ 0 * * *
sin2x*cos x + sin 2x =0⇔2sin2x*cos x + sin 2x =0⇔2sin2x(cos x+1/2)=0
sin2x=0 ⇔ 2x=πn , n ∈ ℤ . ⇒ x=πn/2, n ∈ ℤ
или
cos x+1/2 = 0 ⇔ сos x= - 1/2 ⇔ x = ±2π/3 +2πn , n ∈ ℤ .
учитывая sin2x ≥ 0 получается x = - 2π/3 +2πn , n ∈ ℤ .
2. (sin2x+2sin x) / (1- cos x) = 2( 1+ cos x)
ОДЗ : 1 - cos x ≠0 ⇔ cos x ≠ 1 ⇔ x ≠ 2πn , n ∈ ℤ .
2sinx*(1+cos x) / (1- cos x)= 2( 1+ cos x) ⇔
2(1+cos x) *( 1 - sinx /(1- cos x) ) = 0 ⇔
2(1+cos x) *( 1 - cosx -sinx ) / (1- cos x) = 0
a) 1+ cos x =0 ⇔ cosx = - 1 ⇒ x = π +2πn , n ∈ ℤ .
б) 1 - cosx - sinx=0⇔ sinx+cos x=1⇔√2sin(x +π/4)=1⇔sin(x +π/4) =√2/2 ;
* * * x +π/4 =(-1)ⁿ *π/4 + πn , n ∈ ℤ . * * *
б) x +π/4 =π/4 + 2πk , k ∈ ℤ . ⇒ x=2πk , k ∈ ℤ .
или
б) x +π/4 =(π -π/4) + 2πk , k ∈ ℤ . ⇒ x=π/2+2πk , k ∈ ℤ
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Найдите площадь фигуры с ограниченной линиями
y=x³ , y =1 , x= 2 (постройте график)
ответ: 2,75 кв. ед.
Объяснение:
Найдем точки пересечения графиков функций y=x³ и y=1 :
1 = x³ ⇒ x =1 (1 ; 1) * * * a =1 * * *
* * *x³ -1 =0 ⇔(x -1)(x²+x+1) =0 ⇔[ x -1=0 ; x²+x+1 =0 .⇒ x=1. * * * * * * x²+x+1 =0 не имеет действительных корней * * *
-----------------------------------------------------------
Построить схематический график нечетной функции y = x³ нетрудно (кубическая парабола).
y =1 → линия параллельная оси абсцисс ( x)
x=2 → линия параллельная оси ординат (y)
-----------------------------------------------------------
S = ₁ ∫² (x³ -1 )dx ( пределы интегрирования: a=1 нижний , b=2 верхний)
* * * Формула Ньютона – Лейбница * * *
S = ( x⁴ /4 -x ) | ₁ ² = (2⁴ /4 -2) - (1⁴ /4 -1) = 2 +3/4 =2,75 (кв. ед.)