Question

Найти частные решения дифференциальных уравнений. 1)dx/cos^2 x cosy=-ctgsin ydy, если y=п, при x=п/3 2)dy/dx-2y/x+1 +(x+1)^3=0 3)y^n+y'-6y=0, если у=3 и у'=1 , при х=0

Answer 1

$1)\; \; \frac{dx}{cos^2x\cdor cosy}=-ctg(siny)\cdot dy\\\\ \int \frac{dx}{cos^2x}=-\int ctg(siny)\cdot \underbrace {cosy\cdot dy}_{d(siny)}\\\\tgx=-ln|sinx|+C\\\\y( \frac{\pi }{3} )=\pi \; :\; \; tg \frac{\pi }{3}=-ln|sin\frac{\pi }{3}|+C\\\\\sqrt3=-ln|\frac{\sqrt3}{2}|+C\; ,\; \; \; C=\sqrt3+ln\frac{\sqrt3}{2} \\\\tgx=-ln|sinx|+\sqrt3+ln \frac{\sqrt3}{2}$

$2)\; \; \frac{dy}{dx}-\frac{2y}{x+1}=-(x+1)^3 \\\\y=uv,\; \; \frac{dy}{dx}=y'=u'v+uv'\\\\u'v+uv'- \frac{2uv}{x+1}=-(x+1)^3\\\\ u'v+u\cdot (v'- \frac{2v}{x+1})=-(x+1)^3\\\\a)\; \; \frac{dv}{dx}=\frac{2v}{x+1} \; ,\; \; \int \frac{dv}{dx} =\int \frac{2\, dx}{x+1} \; ,\; \; ln|v|=2\cdot ln|x+1|\\\\v=(x+1)^2\\\\b)\; \; u'\cdot (x+1)^2=-(x+1)^3\\\\ \frac{du}{dx}=-(x+1) \; ,\; \; \int du=-\int (x+1)dx\\\\u=- \frac{(x+1)^2}{2}+C \\\\c)\; \; y=(x+1)^2\cdot \Big (C-\frac{(x+1)^2}{2}\Big )$

$3)\; \; y''+y'-6y=0\\\\k^2+k-6=0\; ,\; \; k_1=-3\; ,\; \; k_2=2\\\\y=C_1\cdot e^{-3x}+C_2\cdot e^{2x}\\\\y(0)=3:\; \; 3=C_1\cdot e^0+C_2\cdot e^0\; ,\; \; 3=C_1+C_2\\\\y'(x)=-3C_1\cdot e^{-3x}+2C_2\cdot e^{2x}\\\\y'(0)=1:\; \; 1=-3C_1+2C_2\\\\C_1=3-C_2\; \; \to \; \; 1=-3(3-C_2)+2C_2\\\\1=-9+5C_2 \\\\C_2=2\; ,\; \; C_1=3-2=1\\\\y=e^{-3x}+2e^{2x}$