Question

Решите решите систему: x+xy^3=9 xy+xy^2=6

Answer 1

Перепишем систему уравнений (вынеся общий множитель в левой части уравнений) в виде
$x(1+y^3)=9$
$xy(1+y)=6$
или учитывая формулу суммы кубов
$A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$
в виде
$x(1+y)(1-y+y^2)=9$
$xy(1+y)=6$

очевидно что при x=0; y=0; 1+y=0 второе уравнение не имеет решений
поєтому разделив левые и правые части первого на второе уравнение, потери корней не будет

получим равенство
$\frac{1-y+y^2}{y}=\frac{9}{6}$
или
$6(1-y+y^2)=9y$
$2(1-y+y^2)=3y$
$2-2y+2y^2-3y=0$
$2y^2-5y+2=0$
квадратное уравнение
$D=(-5)^2-4*2*2=25-16=9=3^2$
$y_1=\frac{5-3}{2*2}=0.5$
$y_2=\frac{5+3}{2*2}=2$
из второго уравнения для каждого найденного значения y находим соотвествующее значение х
$x=\frac{6}{y+y^2}$
$x_1=\frac{6}{0.5+0.5^2}=8$
$x_2=\frac{6}{2+2^2}=1$

окончательно получаем пары решений (8; 0.5), (1;2)
ответ: (8;0.5), (1;2)