ответ: m=2001
Объяснение:
Поскольку парабола проходит через точку (m ,0) , то уравнение
a*x^2+b*x+c=0
Имеет один из корней равный m . ( a*m^2+b*m+c=0)
Рассмотрим 1 случай : a*x^2+b*x+c=0 имеет два корня .
Тогда второй корень возможно найти по теореме Виета :
x2= (-b/a -m)
Тогда верно разложение :
y=ax²+bx+c= a*(x-m)*(x+m+b/a) = (x-m)*(a*(x+m) +b)
Мы знаем что парабола проходит через точку :
(2002 , -32)
Тогда :
(2002-m)*(a*(2002+m) +b)=-32
Поскольку m <2002 и нечетное
(2002 -m) > 0 и (2002-m) - нечетно ( разность четного числа 2002 и нечетного числа m нечетна)
Поскольку m,a,b - целые
a*(2002+m)+b так же целое число.
Но тогда , тк -32= -(2^5)
(2002-m)*(a*(2002+m) +b) делится на -(2^5)
Поскольку 2002-m >0 и нечетно , то тк 2- простое число
a*(2002+m) +b <0 и делится на все эти 5 степеней двоек , то есть целиком делится на -(2^5)
Таким образом возможен единственный вариант :
a*(2002+m) +b = -(2^5)
(2002 - m)=1
Таким образом : m=2001
2 cлучай :
a*x^2+b*x+c=0 имеет 1 корень.
y= a*(x-m)^2
-32 = a* (2002-m)^2
Но опять же учитывая что
2002-m>0 и нечетно
a=-(2^5)
2002-m = 1
m=2001
ответ: a=-1 ; a=2
Объяснение:
2(a-2)x²+a(a+1)x+6=0
По теореме Виета произведение корней равно :
6/(2(a-2)) = 3/(a-2)
Поскольку произведение корней должно быть целым , то
a-2 - рациональное число a-2 = p/q p и q взаимно простые p-целое число , q- натуральное число
3/(a-2) = 3/ (p/q) = 3*q/p
Поскольку p и q взаимно простые
p=+-3 ; +-1
a-2=p/q
a*(a+1) = (p/q +2)*(p/q +3)
2*p*x^2/q + (p/q +2)*(p/q +3)*x +6=0
Умножим обе части равенства на q^2
2*p*q*x^2 + (p+2q)*(p+3q) +6*q^2=0
Тогда по теореме Виета - cумма корней равна
N= -(x1+x2) = (p+2q)*(p+3q)/(2*p*q)
1) p=1
N = (1+2q)*(1+3q)/2q = (1+3q)/2q + 1+3q = (1+q)/2*q + 2+3q
Таким образом : 1+q делится на 2*q
1+q =2*q*n n ,q - натуральные числа (1+q - так же натуральное число соответственно)
1 = q* (2n-1 )
q=1
2) p=-1
(2q-1)*(3q-1)/(-2*q) = (2q-1) *(1-3q)/2q = 1-3q + (3q-1)/2q = 2-3q +(q-1)/2q
q-1 делится на 2q
q-1 = 2*q*n n-целое , q- натуральное
1= q* ( 1-2n)
q=1
Таким образом : a12= +-1/1 = +-1 ( кандидаты на a )
3) p= 3
(3+2q)*(3+3q)/6*q = ( 6*q*(1+q) + 9*(1+q) ) /6q = 1+q +(3+3q) /2q =
(q+3)/2q + 2+q
q+3 делится на 2q
q+3 =2*q*n q,n- натуральные
3= q*(2n-1)
q=3 ; 1 a=3/3=1=a1 ; a3= 3/1= 3
4) p=-3
(2q-3)*(3q-3)/(-6q) = (2q-3)* (1-q)/2q = 1-q + (3q-3)/2*q = 2-q +(q-3)/2q
q-3 делится на 2q
q-3= 2*q*n n-целое , q- натуральное
3= q*(1-2n)
q=3 ; 1 ( q=3 подходит тк 2-q +(q-3)/2q = 2-3=-1
a= -3/3=-1 =a2 ; a4= -3/1= -3
Таким образом : a=+-1 ; +-3 единственные кандидаты на уравнение с целочисленными корнями
Проверяем :
a=1
-2*x^2 +2*x+6=0
x^2-x-3=0
D =1+12=13 - не полный квадрат. ( не подходит)
a=-1
-6*x^2 +6=0
6=6*x^2
x^2=1
x=+-1
a=-1 (подходит)
a=3
2*x^2 +12*x +6=0
x^2+6*x+3=0
D=36-12=24 - не полный квадрат ( не подходит)
a=-3
-10*x^2 +6*x +6 =0
5*x^2-3*x-3=0
D= 9+60=69 - не подходит.
ответ : a=-1 ( казалось бы!)
Но мы кое что забыли !
Рассмотрим случай a=2 , в этом случае наше уравнение становится линейным :
6*x+6=0
x=-1 , то есть a=2 подходит .
Случай же ,когда D=0 соответствует общему случаю .
Только сумма корней по теореме Виета равна 2*x0 , а произведение xo^2 ( корень второй кратности равный x0).
Так что в этом моменте все в порядке
