1)2((8+x)+x)=20
8+2x=20:2
8+2х=10
2х=10-8
2х=2
х=2:2
х=1-ширина
8+х=8+1=9 - длина
2)2х+х=441
3х=441
х=441:3
х=147-второе число
3х=294-первое число
3)х+у+х-у=140+14
2х=154
х=154:2
х=77-первое число
77+у=140
у=140-77
у=63-второе число
4) х+(х+1)+(х+2)=201
3х+3=201
3х=201-3
3х=198
х= 198:3
х=66
х+1=67
х+2=68
Это числа 66,67 и 68
Найти а) частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее заданным начальным условиям ;
б) общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
a) y " + 8y ' + 7y = 0 ; y(0) = 2 ; y '(0) = 1 .
Составляем и решим характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
k² + 8k +7 =0 D₁ = (8/2)² - 7 = 4² -7 = 9 = 3² ; √D₁ =3
* * * очевидно по т Виета * * * k = - 1 корень
k₁,₂ = - (8/2) ± 3
k₁ = -4 - 3 = - 7 ;
k₂ = - 4 + 3 = -1 .
Получены два различных действительных корня
Общее решение : y = C₁e^(-7x) +C₂e^(-x) , где C₁ и C₂ произвольные константы (постоянные) .
* * * Придавая константам различные значения, можно получить бесконечно много частных решений * * *
Определим частное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям : y(0) = 2 , y ' (0) = 1 .
y(0) = C₁e^(-7*0) +C₂e^(-0 ) = C₁ + C₂ = 2;
y ' = ( C₁e^(-7x) +C₂e^(-x) ) ' = -7*C₁e^(-7x) - C₂e^(-x)
y ' (0) = -7*C₁e^(-7*0) - C₂e^(-0) = - 7C₁ - C₂ = 1 .
- - - Составим и решим систему из двух найденных уравнений:
{ C₁ + C₂ = 2 ; {-6C₁ = 2+1 ; {C₁ = -0,5 ; { C₁ = - 0,5 ;
{ - 7C₁ - C₂ = 1 . { C₂ = - 7C₁ - 1. { C₂ =-7*(-0,5) -1 . { C₂ = 2,5 .
* * *методом сложения * * *
Подставим найденные значения C₁ и C₂ в общее решение
ответ : - 0,5 e^(-7x) +2,5 e^(-x) частное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям.
- - - - - - -
б) y ' ' - 6y ' + 8y = 3e^ 4x
k² - 6k + 8 =0 ( характеристическое уравнение )
k₁ = 2 ;
k₂ = 4 .
y₀= C₁e^(2x) +C₂e^(4x) общее решение без правой части
Далее найдем частное решение данного уравнения по правой части у₁ =Axe^(4x) , у₁' = Ae^(4x) +4Axe^(4x) , у₁' ' = 4Ae^(4x) +4A(e^(4x) +4xe^(4x) )=8Ae^(4x) +16Axe^(4x)
8Ae^(4x) +16Axe^(4x) - 6Ae^(4x) -24Axe^(4x) +8Axe^(4x) =3e^4x
2Ae^(4x) =3e^(4x ) ⇒ A =1,5 ; y₁=Axe^(4x) = 1,5xe^(4x)
y = y₀ + y₁ = C₁e^(2x) +C₂e^(4x)+ 1,5xe^(4x)
ответ : C₁e^(2x) +C₂e^(4x)+ 1,5xe^(4x) .
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
ay ' ' + by' + cy =0 ищем решение y= е^(kx) || ^ → степень ||
y ' = е^(kx) *(kx) ' =k*е^(kx) ; y '' =(y ' )'= (k*е^(kx) ) '=k*(е^(kx) ) '= k²*е^(kx) .
a*k²*е^(kx) + b*k*e^(kx)+c*e^(kx) =0 ;
е^(kx) * (ak² + bk +c) =0 ; е^(kx) ≠ 0 ⇒
a*k² + b*k + c = 0 ( характеристическое уравнение )
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Это следует из свойства выражения с модулем иметь 2 значения - положительное и отрицательное.
Если раскрыть модуль, то получаем 2 функции:
- при положительном значении модуля
- при положительном значении модуля
у = х² - 2х,
- при отрицательном значении модуля
у = -х² - 4х.
Границей является ось у, делящая ось х на положительные и отрицательные значения.
Находим вершины парабол:
у = х² - 2х хо = -в/2а = -(-2)/2*1 = 2/2 = 1,
уо = 1² - 2*1 = 1-2 = -1.
у = -х² - 4х хо = -в/2а = -(-4/2*(-1) = 4/-2 = -2,
уо = -(-2)² - 4*(-2) = -4 +8 = 4.
Прямая y = m может иметь только 2 точки с графиком заданной функции - это прямая, касательная к вершинам парабол.
Таких прямых 2:
у = -1,
у = 4.