Question

Найдите наибольшее трехзначное число которое не делится на 129,но если его запись повторить 12 раз то многозначное число будет делится на 129

Answer 1

Для начала представим число 129 в виде простых множителей:
129 = 43 × 3

Пусть искомое число состоит из цифр a, b, c, т.е. число такое 100a + 10b + c.
Тогда сумма цифр этого числа равна (a + b + c). Когда мы повторяем число 12 раз, то и сумма его цифр увеличится в 12 раз, т.е. 12 × (a + b + c). Сумма цифр делится на 3! Значит, какое бы мы трёхзначное число не взяли, повторив его 12, уже будет делиться на 3.

Пусть x = 100a + 10b + c искомое число, которое делится на 43, но не делится на 3. Когда мы число x повторим 12 раз получим такое число:
$x + 10^3x + 10^6x +10^9x + 10^{12}x + 10^{15}x + 10^{18}x + 10^{21}x+ \\ \\ + 10^{24}x+ 10^{27}x +10^{30}x + 10^{33}x = \\ \\ \\ x(1+10^3 + 10^6 +10^9 + 10^{12} + 10^{15} + 10^{18} +\\ \\ + 10^{21}+10^{24}+ 10^{27}+10^{30} + 10^{33})$

Если число x будет делиться на 43, то и вся наша длинная конструкция будет делиться 43, ну а на 3 она делится из-за повторения 12 раз, что было доказано выше.
В общем, надо подобрать наибольшее трёхзначное число, которое будет делиться на 43, но де будет делиться на 3, а значит не будет делиться и на 129. Но после 12-кратного повторения этого числа, поученное 36 значное число будет делиться на 129.

Подбираем: 1000 : 43 = 23 и 11 в остатке. 43 × 23 = 989.
Проверим, делится ли оно на 3? Сумма цифр 9 + 8 + 9 = 26, следовательно, число 989 не делится на 3.

ответ: 989