Предположим противное: всего чисел, для которых выигрывает второй игрок конечно. Пусть всего их c: {}. Возьмём произвольное число y, для которого выигрывает первый игрок. Понятно, что должно существовать такое z, что для некоторого i. То есть утверждение задачи эквивалентно тому, что существует некоторое конечное множество A такое, что любое натурально число либо принадлежит A, либо может быть представлено как + элемент из А. (z - натуральное). Предположим, что это так. Тогда возьмём отрезок [1, m]. Далее будем брать элемент из A и прибавлять к нему квадраты натуральных чисел (1, 4, 9 ...) и если это число лежит в промежутке [1, m] увеличивать некий счётчик count. Понятно, что для элемента xi мы увеличим счётчик на . Но тогда когда мы сделаем это для каждого элемента из A, в счётчике будет , но так как m растёт быстрее, чем , то для некоторого m в промежутке [1...m] будут числа, не представимые в виде , приходим к противоречию, а значит утверждение задачи истинно. Замечание 1: понятно, что count >= чем чисел в промежутке [1, m], которые представимы как xi^2 + z^2. Замечание 2: [x] - целая часть числа х (или наибольшее целое число, не превосходящее x).
Метод интервалов основан на том, что график функции переходя из нижней полуплоскости в верхнюю или наоборот, пересекает ось ох в точке, которая называется нулем функции. И если график функции на отрезке (или интервале) расположен выше оси ох, это означает, что в любой точке этого отрезка(интервала) значение функции >0. Поэтому выбираем любую точку. Находим значение функции только в ней и ставим такой же знак на всем интервале.
Найти нули функции, точки в которых х²-5х+4=0 D=(-5)²-4·4=9 x=(5-3)/2=1 или х=(5+3)/2=4
Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка
________(1)_______(4)______
Находим знак на (4;+∞). Берем точку принадлежащую этому промежутку, например 10 и находим 10²-5·10+4=100-50+4>0
Ставим справа от точки 4 знак + ________(1)_______(4)___+___ Далее можем выбрать точки из (1;4). Например х=3 3²-5·3+4=9-15+4<0 Ставим знак - ________(1)___-____(4)___+___ и наконец, на (-∞;1) при х=0 получаем 4 >0 Ставим знак + _____+___(1)___-___(4)___+___
Сравните знаки + - + на рисунке, на котором построен график функции. См. приложение.