Question

Используя свойство числовых неравенств, докажите, что заданная функция убывает: а)y=-0,8x-2; б)y=-x^3-7x+5

Answer 1

$x_{1} \ \textless \ x_{2} |*(-0.8) \\ -0.8 x_{1} \ \textgreater \ -0.8 x_{2} |-2 \\ -0.8x_{1}-2\ \textgreater \ -0.8x_{2}-2$ ⇒ f(x) убывает. т.к $f(x_{1})\ \textgreater \ f(x_{2})$

Answer 2

Добрый день! Давайте рассмотрим оба варианта заданных функций и докажем, что они убывают, используя свойство числовых неравенств.

а) Функция y = -0,8x - 2

Для доказательства убывания функции, необходимо проверить, выполняется ли неравенство между значениями функции при различных значениях аргумента.

Пусть у нас есть две точки с аргументами x1 и x2, где x1 < x2. Тогда значения функции в этих точках будут равны y1 и y2 соответственно. Мы должны убедиться, что y1 > y2, для того чтобы доказать, что функция убывает.

Подставим значения функции для точек x1 и x2:
y1 = -0,8x1 - 2
y2 = -0,8x2 - 2

Теперь сравним значения y1 и y2:
-0,8x1 - 2 > -0,8x2 - 2

Отнимем от обеих частей равенства число -2:
-0,8x1 > -0,8x2

Теперь разделим обе части неравенства на -0,8 (отрицательное число, что меняет знак неравенства):
x1 < x2

Как мы видим, x1 < x2, и это подтверждает наше предположение о том, что функция y = -0,8x - 2 убывает. Как только значение аргумента увеличивается, значение функции уменьшается.

б) Функция y = -x^3 - 7x + 5

Принцип доказательства убывания остается таким же как в предыдущем примере. Нарисуем график функции для более наглядного представления.

Чтобы доказать убывание функции, мы должны убедиться, что наклон графика всегда ниже или равен нулю.

Дифференцируем данную функцию, чтобы найти ее производную. Производная покажет, как изменяется функция в зависимости от значения аргумента.

dy/dx = -3x^2 - 7

Выставляем производную равной нулю и находим критические точки:
-3x^2 - 7 = 0

Переносим -7 на другую сторону:
-3x^2 = 7

Делим обе части на -3 (отрицательное число, знак неравенства меняется):
x^2 = -7/3

Такое равенство невозможно, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Это означает, что критических точек у данной функции нет.

Рассмотрим теперь график функции. Мы видим, что график функции представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз. Это означает, что функция y = -x^3 - 7x + 5 убывает на всей числовой прямой. Как только значение аргумента растет, значение функции уменьшается.

Таким образом, заданные функции y = -0,8x - 2 и y = -x^3 - 7x + 5 убывают, и мы доказали это, используя свойство числовых неравенств и график функций.