Обозначим cлагаемые за Х,У,Z
(X+Y+Z)/3>=1
Согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом достаточно доказать :
ХУZ>=1
Вернемся к исходным обозначениям
8abc>=(a+b)(b+c)(a+c)
Снова согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом видим
a+b>=2sqrt(ab) b+c>=2sqrt(сb) (a+c)>=2sqrt(ac)
поэтому можим заменить сомножители справа на произведение
2sqrt(ab)*2sqrt(aс)*2sqrt(сb)=8abc, что и доказывает неравенство.
Равенство достигается только при а=с=b
bn=b1*qⁿ⁻¹
b5=b1*q⁴ (1)
b7=b1*q⁶ (2)
(2):(1) ⇒
b7/b5=q²
q²=-1/6:(-3/4)=1/6*4/3=2/9
q=+-√2/3
т.к. b4<0, то q=+√2/3
b4=b5/q
b4=-3/4:√2/3=-3/4*3/√2=-9√2/8