Объяснение:
Вероятность того что выпадет орел, 1/2 т.к всего событий два (орел или решка) а орел может выпасть только в одном случае)
Вероятность выпадения орла(решки) при многократном подбрасывании монеты вычисляем по формуле Бернулли, где p=0,5, q=1-p=0,5. Вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза:
p5(2) = C52· p2· q5-2 = 10· (0,5)2· (0,5)3 = 0,3125.
Вероятность того, что орел выпадет ровно хотя бы 2 раза найдем через вероятность противоположного события:
p5(m>=2) = 1 - p5(m<2) = 1 - (p5(0) + p5(1)) = 1 - (C50· p0· q5 + C51· p1· q5-1) = 1 - (1· (0,5)0· (0,5)5 + 5· (0,5)0· (0,5)5) = 1 - 0,1875 = 0,8125.представляет собой .
ответ. 0,3125 и 0,8125.
Даны координаты вершин пирамиды:
A(4, 4, -10) ; B(4, 10, 2) ; C(2, 8, 4) ; D(9, 6, 4).
4) Находим векторы АВ и АС.
АВ = (0;6; 12), АС = (-2; 4; 14).
Их векторное произведение равно.
i j k | i j
0 6 12 | 0 6
-2 4 14 | -2 4 = 84i - 21j +0k - 0j - 4+ 12k = 36i - 24j + 12k.
Нормальный вектор к плоскости АВС равен (36; -24; 12).
Площадь АВС равна половине модуля векторного произведения:
S = (1/2)*√(1296 + 576 + 144) = √2016/2 = 6√14 ≈ 22,45 кв.ед.
Направляющий вектор высоты DH равен нормальному вектору плоскости АВС, то есть (36; -24; 12), или сокращённый на 12:
DH: (3; -2; 1).
Отсюда получаем уравнение DH с учётом координат точки D:(9; 6; 4).
DH: (x - 9)/3 = (y - 6)/(-2) = (z - 4)/1.
Уравнение плоскости АВС найдём по точке А и нормальному вектору DH: A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0
Если теперь в уравнении раскрыть скобки и привести подобные члены, получим общее уравнение плоскости:
Ax + By + Cz + D = 0 ,
где D = −Ax0 − By0 − Cz0, A = 3, B = -2, C = 1, точка A(4, 4, -10).
Найдём значение D:
D = -3*4 - (-2)*4 - 1*(-10) = -12 + 8 + 10 = 6.
Уравнение АВС: 3x - 2y + z + 6 = 0.
Определяем вектор AD:(9 - 4 = 5; 6 - 4 = 2; 4 - (-10) = 14) = (5; 2; 14).
Теперь находим угол между AD и АВС.
угол между этой прямой и плоскостью
sin φ = | A · l + B · m + C · n |
√(A² + B² + C²) · √(l² + m² + n²)
A = 3, B = -2, C = 1 (5; 2; 14)
sin φ = (3*5 + (-2)*2 + 1*14)/(√(3² +(-2)² + 1²) · √(5² + 2² + 14²) =
= (15 - 4 + 14)/(√(9 +4 + 1) · √(25 + 4 + 196) = 0,4454.
Угол fi = 0,4617 радиан или 26,4512 градуса.
5) Уравнение DH определено выше:
DH: (x - 9)/3 = (y - 6)/(-2) = (z - 4)/1.
6) Уравнение DH представим в параметрическом виде.
(x - 9)/3 = (y - 6)/(-2) = (z - 4)/1 = t
x = 3t + 9,
y = -2t + 6,
z = t + 4.
И подставим в уравнение АВС.
9t + 27 + 4t - 12 + t + 4 + 6 = 0.
14t + 25 = 0/
t = -25/14.
Получаем координаты точки пересечения DH с плоскостью АВС.
x = 3*(-25/14) + 9 = 51/14 ≈ 3,643 .
y = -2*(-25/14)+ 6 = 134/14 ≈ 9,571.
z = (-25/14) + 4 = 31/14 ≈ 2,214.
Длину DH можно получить двумя
- по разности координат точек D и H,
- по формуле H = 3V/S(ABC).
Объём равен (1/6) смешанного произведения (АВ х АС) * AD.
АВ x AC= (36; -24; 12), AD = (5; 2; 14).
V = (1/6)*(180 - 48 + 168) = (1/6)*300 = 50 куб.ед.
Тогда DH = (3*50)/6√14 = 25√14/14 ≈ 3,528.
Найдем значения на концах отрезка:
y(-1) = 1/4*1 - 6*(-1) + 7 = 1/4 + 6 + 7 = 13 1/4
y(1) = 1/4*1 - 6*1 + 7 = 1/4 - 6 + 7 = 1 1/4
Найдем критические точки, в которых производная равна 0:
y' = x^3 - 18x^2 = x^2*(x - 18) = 0
x1 = x2 = 0; y(0) = 7, но это не экстремум.
Производная слева и справа от 0 отрицательна, то есть функция убывает.
x3 = 18 - это точка минимума, но она не входит в промежуток (-1; 1).
ответ: наибольшее y(-1) = 13 1/4, наименьшее y(1) = 1 1/4.