Надо воспользовать тем, что наименьший положительный период синуса и косинуса равен 2π, а тангенса и котангенса — π. Воспользоваться — значит представить исходную функцию, скажем, в виде f(sin kx), где f — монотонная функция (принимающая каждое своё значение только один раз) . Тогда период равен 2π/k. 1.42. Период равен 2π. 1.44. cos² 3x = (cos 6x + 1)/2, поэтому период равен 2π/6 = π/3. 1.46. lg |sin x| = lg √(sin² x) = ½ lg ((1 – cos 2x)/2), поэтому период равен 2π/2 = π. 1.48. sin^4 x + cos^4 x = (cos² x + sin² x)² – 2 sin² x cos² x = 1 – ½ sin² 2x = 1 – (1 – cos 4x)/4, период равен 2π/4 = π/2. 1.50. |cos(x/2)| = √(cos²(x/2)) = √((cos x + 1)/2), период равен 2π.
Доказать , что функция f(x)=(x+4)|x-5|+(x-4)|x+5| является нечётной.
* * * f(-5) = -10 ; f(5) =10 ; f(0) =4*5 - 4*5 = 0. * * *
a) x ≥ 5 .
f(x) = (x+4)*(x -5) + (x - 4)*(x +5) = 2(x² - 20) .
---
b) x ≤ - 5 .
f(x) = (x+4)*(-(x-5)) + (x- 4)*(-(x+5) ) = - ( (x+4)*(x-5) +(x - 4)*(x+5) ) =
= - 2(x² -20) .
f(-x₁) = - f(x₁) , т.к. если x₁ ≤ - 5 ⇒ - x₁ ≥ 5 .
---
c) - 5 < x < 5
f(x) = (x+4)*(- (x-5) ) + (x - 4)*(x +5) = - (x+4)*(x - 5) + (x - 4)*(x +5) =
= 2x .
Значит , если - 5 < x₀ ≤ 0 ,то 0 ≤ - x₀ < 5
f(- x₀) =-2x₀ = - 2f(x₀) .
функция f(x)=(x+4)|x-5|+(x-4)|x+5| является нечётной.
-2(x² -20) 2x 2x 2(x² -20)
[-5] [0] [5]
* * * * * * *P.S.* * * * * * *
f(-5) = -2((-5)² -20) =10 или f(-5) =2*(-5) = - 10 .
f(5) =2(5² -20) =10 или f(5) =2*5 =10.
f(0) =2*0 =2*(-0) =0 .